等腰三角形的判定与反证法ppt课件课堂实录

1.理解等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简单的证明.

2.了解反证法的基本证明思路,并能简单应用.

探索等腰三角形的判定定理.

培养学生的逆向思维能力.

【重点】

等腰三角形的判定定理.

【难点】

反证法.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习上节学习的等腰三角形中相等的线段.

导入一:

师:请同学们回顾一下,前面我们学习了等腰三角形的哪些性质?

生1:等腰三角形两底角相等,可以简述为:“等边对等角”.

生2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高线互相重合.简述为:“三线合一”.

生3:等腰三角形两腰上的高线相等,两腰上的中线相等,两底角的平分线相等.

师:非常好!同学们概括得很全面.那么对于等腰三角形的性质定理:等腰三角形两底角相等,这个命题的条件和结论分别是什么?

生:条件是等腰三角形的两个底角.结论是两底角相等.

师:我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗?在一个三角形中,如果两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,对吗?

生:完全成立,可以证明出来.

师:这就是我们这节课要学习的内容.

[设计意图]

设计成连续的问题是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔.学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段.

导入二:

下列问题,要求学生独立思考后再进行交流.

【问题1】

等腰三角形性质定理的内容是什么?这个命题的条件和结论分别是什么?

【问题2】

我们是如何证明上述定理的?

【问题3】

我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗?在一个三角形中,如果两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,对吗?

[设计意图]

引导学生做逆向思考:“如果将等腰三角形的性质反过来,那么它是否依旧成立?”自然引入新课.

一、等腰三角形的判定定理

[过渡语]

以前我们通过改变问题的条件,得出了很多类似的结论,这是研究问题的一种常用方法,除此之外,我们还可以交换命题的条件和结论“反过来”思考问题,这也是获得数学结论的一条途径.比如“等边对等角”,反过来成立吗?也就是:有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?下面我们一起证明这个结论.先请同学们画出图形,写出已知、求证.

证明:有两个角相等的三角形是等腰三角形.

已知:如图所示,在△ABC中,∠B=∠C.

求证AB=AC.

师:同学们完成得很好,下面怎样来完成证明过程呢?(停顿一下,给学生思考时间.)同学们回想一下,我们是怎样证明“等边对等角的”?

生1:作辅助线构造两个全等的三角形,使AB与AC成为对应边就可以了.

生2:类比前面定理的证明的方法,猜想通过作BC边上的中线,或作∠A的平分线,或作BC边上的高,都可以把△ABC分成两个全等的三角形.

师:很好!同学们可在练习本上尝试一下是否可行,我现在把大家分成三大组,请写出三种证明过程来.

【学生活动】

分三组,用三种作辅助线的方法写过程.

生(举手):老师,不对,我们没法做.我们组发现,如果作BC边上的中线,虽然把△ABC分成了两个三角形,但无法用公理和已证明的定理证明它们全等.因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等,这是“SSA”,是不能够判定两个三角形全等的.其他两组的方法是可行的.(全班恍然大悟)

师:哈哈!你们组思考得很认真.

生1:证明:作AD⊥BC于点D.(如图所示)

在△ABD和△ACD中,

∵∠B=∠C,

∠BDA=∠CDA,

AD=AD, ∴

△ABD≌△ACD

(AAS).

∴

AB=AC

(全等三角形的对应边相等). 生2:作△ABC顶角的平分线AD交BC于点D.(如图所示)

在△ABD和△ACD中,

∵∠B=∠C,

∠BAD=∠CAD,

AD=AD,

∴

△ABD≌△ACD

(AAS).

∴

AB=AC

(全等三角形的对应边相等).

从而得出等腰三角形的判定定理:

定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简述为:等角对等边.

几何语言:

在△ABC中,∵∠B=∠C(已知),∴AB=AC(等角对等边).

(教材例2)已知:如图所示,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E,

求证△AED是等腰三角形.

证明:∵AB=DC,

BD=CA,AD=DA,

∴

△ABD≌△DCA

(SSS).

∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).

∴AE=DE(等角对等边).

∴

△AED是等腰三角形.

[设计意图]

引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确地添加辅助线,使学生思考证明“等角对等边”既可以作底边上的高线也可以作顶角的平分线,但不适合作底边上的中线.同时,加强规范学生的书写格式,鼓励学生一题多解.

二、反证法

[过渡语]

如果否定命题的条件,是否也能获得一个数学结论?我们一起来“想一想”.

小明说,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?

有学生提出“:认为这个结论是成立的.因为画了几个三角形,观察并测量发现,如果两个角不相等,它们所对的边也不相等.但要像证明“等角对等边”那样证明却很难,像这种从正面入手很难证明的结论,我们有没有别的证明思路和方法呢?

我们来看一位同学的想法:

如图所示,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等,要么不相等.

假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B,这与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾,因此AB≠AC.

你能理解他的推理过程吗?

这位同学在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.

(教材例3)用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角.

已知:△ABC.

求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角.

证明:假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A和∠B是直角,即∠A=90°,∠B=90°,

于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.

这与三角形内角和定理矛盾,因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.

所以,一个三角形中不能有两个角是直角.

[设计意图]

让学生明确当用综合法证明命题行不通时,我们要有探究一种新方法的欲望,结合教材中小明的想法,初步感受反证法,体会反证法在证明中出乎意料的作用.

[知识拓展]

等腰三角形的判定定理和性质定理是互逆的,解有关等腰三角形问题时,等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线通常是作辅助线需要重点考虑的线段.

1.等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边)

2.反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.

1.已知:如图所示,OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3 cm,则CD等于

(

)

A.3 cm 答案:A B.4 cm C.1.5 cm D.2 cm

2.(2015·西安中考)如图所示,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有

(

)

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

解析:∵△ABC为等腰三角形,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴△ABD为等腰三角形,△BCD为等腰三角形.可得BE=BC=BD,∴△BDE为等腰三角形.∵∠AED=108°,∴∠EAD=∠EDA=36°,∴△AED为等腰三角形.故选D.

3.如图所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长等于AB与AC的和;④BF=CF.其中正确的有

(

)

A.①②③

B.①②③④

C.①②

D.①

解析:可证明△BDF,△CEF都是等腰三角形,得①②③正确.故选A.

4.用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中,至多有一个锐角”的第一步是

.

答案:假设三角形的三个外角中,有两个锐角

5.已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,要使AD∥BC,则△ABC的边一定满足

.

解析:根据等腰三角形的性质可知AB=AC.故填AB=AC.

6.在△ABC中,∠C=∠B,D,E分别是AB,AC上的点,AE=2 cm,且DE∥BC,则AD=

.

解析:可证△ADE是等腰三角形,∴AD=AE=2 cm.故填2 cm.

7.如图所示,已知AB=AC,E,D分别在AB,AC上,BD与CE交于点F,且∠ABD=∠ACE,求证BF=CF.

证明:连接BC,∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB.

∵∠ABD=∠ACE,

∴∠FBC=∠FCB,

∴FB=FC.

8.如图所示,在△ABC中,BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于F交BC于E,求证△DBE是等腰三角形.

证明:∵BA=BC,∴∠A=∠C.

∵DF⊥AC,

∴∠C+∠FEC=90°,∠A+∠D=90°.

∴∠FEC=∠D.

∵∠FEC=∠BED,

∴∠BED=∠D.

∴BD=BE,即△DBE是等腰三角形.

一、等腰三角形的判定定理

二、反证法

第3课时

一、教材作业

【必做题】

教材第9页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第9页习题1.3的1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于

(

)

A.30°

B.40°

C.45°

D.36°

2.在等腰梯形ABCD中,∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC,AD∥BC,则图中的等腰三角形有

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

(

)

3.如图所示,在四边形ABCD中,已知AD∥BC,BC=8 cm,CD=6 cm,DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于

(

)

A.2 cm

B.4 cm C.6 cm

D.8 cm

4.下面三角形:

①有两个角为60°的三角形;

②三个外角都相等的三角形;

③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形;

④有一个角为60°的等腰三角形.

其中是等边三角形的有

(

)

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

【能力提升】

5.用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时,第一步应假设

.

6.等腰三角形的顶角α>90°,如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰三角形分成了两个等腰三角形,那么α的度数为

.

7.如图所示,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:

(1)△ABC≌△ADC;

(2)BO=DO.

8.文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,如图所示,写出已知、求证.她们对各自所作的辅助线描述如下:

文文:过点A作BC的中垂线AD,垂足为D.

彬彬:作△ABC的角平分线AD.

数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说:“彬彬的作法是正确的,而文文的作法需要改正.”

(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里;

(2)根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程.

【拓展探究】

9.如图所示,D为△ABC的边AB的延长线上一点,过点D作DF⊥AC,垂足为F,交BC于E,且BD=BE,求证△ABC是等腰三角形.

10.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在AC上.CE =BC,过点E作AC的垂线,交CD的延长线于点F,求证AB=FC.

【答案与解析】

1.D(解析:由AD=BD,得∠A=∠ABD,所以∠BDC=2∠A,由BD=BC,得∠C=∠BDC=2∠A.由AB=AC,得∠ABC=∠C=2∠A,由三角形内角和定理,得∠A+2∠A+2∠A=180°,即∠A=36°.故选D.)

2.D(解析:△ABD,△ACD,△AOD,△BOC都是等腰三角形,共4个.故选D.)

3.A(解析:由DE平分∠ADC,得∠ADE=∠CDE,由AD∥BC,得∠ADE=∠CED,∴∠CED=∠CDE,∴EC=DC=6 cm,∴BE=BC-EC=8-6=2(cm).故选A.)

4.B(解析:由等边三角形的判定定理可知①②④为等边三角形,③为等腰三角形.)

5.三角形中没有大于或等于60°的角(或三角形的所有内角都小于60°)

6.108°(解析:画出图形,利用三角形内角和定理求解.)

7.证明:(1)在△ABC和△ADC中,∵∠1=∠2,AC=AC,∠3=∠4,∴△ABC≌△ADC.

(2)由(1)知AB=AD,∵∠1=∠2,AO=AO,∴△ABO≌△ADO,∴OB=OD.

8.解:(1)过点A作BC的垂线,不一定过BC的中点,如果连接点A和BC的中点D,则AD与BC不一定垂直.

(2)已知:△ABC,∠B=∠C.求证:AB=AC.证明:作△ABC的角平分线AD,则∠BAD=∠CAD,∵∠B=∠C,AD=AD,∴△ABD≌△ACD,∴AB=AC.

9.证明:∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠EFC=90°,∴∠A+∠D=90°,∠C+∠1=90°,∴∠A+∠D=∠C+∠1.∵BD=BE,∴∠2=∠D(等边对等角).∵∠1=∠2,∴∠1=∠D,∴∠A+∠D=∠C+∠D,∴∠A=∠C,∴AB=BC(等角对等边).∴△ABC是等腰三角形.

10.证明:∵FE⊥AC,∠ACB=90°,∴∠FEC=∠ACB=90°,∴∠F+∠ECF=90°.∵CD⊥AB,∴∠A+∠ECF=90°,∴∠A=∠F.在△ABC和△FCE中,∠A=∠F,∠ACB=∠FEC,BC=CE,∴△ABC≌△FCE,∴AB=FC.

学生在本课时的数学试验中,体验到学习数学的乐趣;在独立思考中,体验到数学知识的奥妙;在合作交流中,体验同学之间的友谊;在尝试完成例题中,体验成功的喜悦.

学生思考问题的积极性不高,好多时候在探究时没有动手与动脑相结合,光看不动,很多结论都没有自己探索出来.

课堂上出现新的情况、新的问题不能按计划进行时,要随时调整.虽然学生自主探究过程会影响教学进度,但经历了知识的形成和发展过程,能达到更深刻地理解,这也是平时教学时要注意的地方.同时,课堂练习也是非常重要的,因此再教时应该加强习题的演练.

随堂练习(教材第9页)

1.解:△BDE是等腰三角形.理由如下:∵ED∥BC,∴∠EDB=∠DBC,又∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠EBD,∴∠EDB=∠EBD.∴BE=ED,即△

BDE是等腰三角形.

2.证明:假设这五个正数都小于,则这五个正数的和小于1,这与已知五个正数的和等于1相矛盾,因此假设不成立,所以这五个正数中至少有一个大于或等于.

习题1.3(教材第9页)

1.证明:∵AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C.又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C,∴AB=AC.

2.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵EP⊥BC,∴△FBP和△EPC是直角三角形,在Rt△FBP中,∠B+∠BFP=90°,同理在Rt△EPC中,∠C+∠E=90°,∴∠BFP=∠E,又∵∠BFP=∠EFA,∴∠EFA=∠E,∴AE=AF,即△AEF是等腰三角形.

3.提示:(1)这样的等腰三角形有两个,一个是以∠α为顶角,另一个是以∠α为底角.

(2)这样的等腰三角形只有一个,是以∠α为顶角的等腰三角形.

4.解:∵∠NBC=84°,∠NAC=42°,∴∠BCA=42°.∴BC=BA=18×10=180(kn).∴从B处到灯塔C的距离是180 kn.

通过前面几课时的学习,学生已经掌握了等腰三角形的相关性质,并知道了用综合法证明命题的基本要求和步骤.为学习等腰三角形的判定定理奠定了基础.

本节课的主要任务是探索等腰三角形的判定定理,在复习性质定理的基础上,引导学生反过来思考、猜想新的命题,并进行证明.这样可以提高学生的逆向思维能力,同时引入反证法的基本证明思路,学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一.

如图所示,在△ABC中,AB=AC,在AC上取一点P,过P点作EF⊥BC,交BA的延长线于点E,垂足为点F.求证AE=AP.

证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,

∵∠B+∠E=90°,∴∠C+∠E=90°.

∵∠FPC+∠C=90°,∴∠E=∠FPC.

∵∠FPC=∠APE,∴∠E=∠APE,

∴AE=AP.