一元一次不等式与一次函数图象的关系第二课时 公开课

一元一次不等式与一次函数图象的关系

课前系统部分

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课标与教材分析

本课题是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级下册第二章“一元一次不等式与一次函数”的第1课时，内容是运用一次函数的图象研究一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系。第2课时是综合运用一次函数与一元一次不等式解决问题。一

本课时解一元一次不等式的后续，其内容对于已有的一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的学习是知识的升华和能力的提升。

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学情分析

I学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数，认识了一次函数的图象和及其性质，在本章前面几节课中，又学习了一元一次不等式概念，具备了解一元一次不等式的基本技能；为本节课的知识综合打下了必要的知识与技能基础。

II学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经利用一次函数的图象和一元一次不等式解决了一些简单的现实问题，感受到了一次函数的图象和一元一次不等式解决问题的必要性和作用；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

III学生的认识规律和思维水平：虽然八年级学生抽象思维能力有所提高，也具备了一定的归纳、概括等推理能力，但由于本课时在一次函数的图象与一元一次不等式、一元一次方程综合过程中渗透着“数形结合”的思想，特别是从一元一次方程到一次函数图象的点化认识，从一元一次不等式到一次函数图象的局部特质认识，这两次大的跨越使学生在思维和应用上较难实现。

IV解决的方法：一是课前充分复习和预习，扎实本节课学习的前置知识；二是教学时从巩固学生的一次函数图象产生和变化为生长点，顺滕摸瓜，引导学生形象地、动态地、正确地认识一次函数的点化和一次函数的局部特质，以顺应学生的认知特点。

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教学目标

I知识与技能：通过观察和分析一次函数的图象中的坐标变化，综合体会解一元一次方程中的相等关系、解一元一次不等式中的不等关系与一次函数的对应关系，感知一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系。

II过程与方法：通过简单的实际问题，体会问题中涵含的一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，运用数形结合的思想解决问题。

情感、态度与价值观：

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教学重点、难点

重点：让学生从整体感受一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系。

难点：通过一次函数图象的变化，体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的两个量的变化。

教学过程：

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课前探究

第一环节：情境引入：

师：上节课我们学习了一元一次不等式的解法，那么，是不是一元一次不等式的知识是孤立的呢？现在我们就从一次函数和它的图象入手，来研究一次函数图象与一元一次不等式的关系。谁能说说一次函数的图象，比如一次函数Y=2X-5的图象。

生1：是一条直线

生2：过（0，5）和（5，0）的一条直线。

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师：你知道直线上的每个点的横坐标和纵坐标是如何变化的呢？你思考过这样的问题吗？同学们请思考和讨论一下。（同学们思考并讨论）

师：请观察动画并和自己的认识作比较。

活动目的：以“旧”引“新”，由原有的知识为基础，探讨新的内容。

活动效果：学生在回忆中探索本课时的内容，从而降低了学生们“入室”的门槛. 第二环节：活动探究、合作学习

下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系.

1.导探激励

观察函数y=2x－5的图象及纵坐标变化，回答下列问题. （1）x取哪些值时，2x－5=0? （3）x取哪些值时，2x－5＜0? （2）x取哪些值时，2x－5＞0? （4）x取哪些值时，2x－5＞1? 提示学生：纵坐标的变化需要一个相应变化的自变量。观察和感知图象上点的变化

学生活动：小组讨论后形成一定意见并回答。

活动目的：观察函数图象，进一步理解函数概念，一元一次方程中的量和一元一次不等式的量，并从中初步体会一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系。

4y2Y=2x-5O5x1024如图：

（1）当y=0时，2x－5=0,∴x= , ∴当x= 时，2x－5=0. （2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0,解得x= .当x＞

时，由y=2x－5可知

y＞0.因此当x＞

时，2x－5＞0 （3）同理可知，当x＜

时，有2x－5＜0 （4）要使2x－5＞1,也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（3，3），则当x＞3时，有2x－5＞1. 活动效果：学生由讨论可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于某个数时即为一元一次不等式。

2.想一想

6Y=-2x-54y2105O2x46

从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0,得x=－2.5,所以当x取小于－2.5的值时，y＞0。

活动目的：

活动效果：通过完成这题进一步培养了学生的数形结合意识。

第三环节：做一做

活动内容：先画出图象，然后讨论回答。

兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：

（1）何时弟弟跑在哥哥前面？

（2）何时哥哥跑在弟弟前面？

（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？

（4）你是怎样求解的？与同伴交流. 活动目的：感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。

［解］设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得 y1=4x y2=3x+9

y2=3x+942y1=4xo2x函数图象如图：

从图象上来看：

（1）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面；

（2）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；

（3）弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m;

（4）从图象上直接可以观察出（1）、（2）小题，在回答第（3）题时，过y 轴上20这一点作x轴的平行线，它与y1=4x,y2=3x+9分别有两个交点，每一交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100 m. 活动效果：绝大部分学生都能画出函数图象，并能借助函数图象完成上述问题。

第四环节：运用巩固、练习提高

已知y1=－x+3，y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流. 活动内容：让学生分小组交流后作出解答，教师进行点评。

活动目的:一方面对上环节中解决此类问题的方法进行巩固，另一方面，让学生在合作学习的过程中进一步体验一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合是解决此类问题核心所在.

教学反思

1、

函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型。本节的目的就是通过具体例子渗透三者之间的内在联系，特别是通过两个数学变量的变化帮助学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的内在的关系以及它们在刻画现实世界的作用。本节课的教学过程中一方面通过图形的变化体会变量以及变量的变化，另一方面通过图形体会变化的不同结果，从而形成函数、方程和不等式三种数学模型，注意引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法，渗透函数、方程、不等式思想和数形结合等重要的数学思想，拓宽学生视野,相信学生并为学生提供充分展示自己的机会。

2、教学过程中为学生提供展示自己聪明才智的机会，同时在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上有很多数学活动，可以观察，也可以表述，可以在小组里面进行发言，也要在课堂上进行表达，课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生在获得知识，提高数学能力的同时形成积极主动的求知态度。

3、注意改进的方面：

在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。

在进行小组合作学习时，要教育学生学尊重别人，要认真聆听别人的发言；要教育学生成功的合作学习既要有统一的学习目标，又要心中有他人，有自我牺牲的精神，多为他人、集体着想；要教育学生要对自己的表现有信心，不自卑，要主动动参与学习。

精心设计设计问题、认真准备教具，尽量减少干扰因素。合作学习的内容要精心设计，太简单了，没有合作的必要，太难了学生解决不了。教具也要认真准备，尽量减少教具学具的缺点，使它们能真正帮助学生学习。