2.6.1 曲线与方程ppt配套的板书设计及意图

曲线与方程

江苏省天一中学

王薇

一、教材分析

1.教材背景

通过对已经学过的几种曲线（直线、圆、圆锥曲线）研究过程的反思，

解释了解析几何的主要研究方法：建立曲线方程，用方程研究曲线的性质。由此提出一般的曲线方程的概念，再由圆的方程与图形之间的关系讨论建立曲线方程的概念，这样符合学生的认知规律，使得“形式化”有了感性的基础，深化了对数学本质的理解。

主要内容有：解析几何与坐标法；求曲线方程的方法（直接法）、步骤及例题探求。

2.本课地位和作用

数形结合

“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式.“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式；求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题.体现了坐标法的本质——代数化处理几何问题，是数形结合的典范. 可探究性

求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系，但曲线轨迹常无法事先预知类型，通过多媒体演示可以生动展现运动变化特点，但如何获得曲线的方程呢？通过创设情景，激发学生兴趣，

充分发挥其主体地位的作用，学习过程具有较强的探究性. 同时，本课内容又为后面的轨迹探求提供方法的准备，并且以后还会继续完善轨迹方程的求解方法. 联系实际

曲线的方程是解析几何的核心.求曲线方程的过程类似于数学建模的过程，它贯穿于解析几何的始终，通过本课例题与变式，要总结规律，掌握方法，为后面圆锥曲线等的轨迹探求提供示范. 3.学情分析

学生在刚刚学习了“圆锥曲线”后，学生对直线于方程、圆与方程的关系有了初步的认识。学生学习过必修2《平面解析几何初步》对用代数方法研究几何问题的科学性、准确性和优越性等已有了初步了解，对具体（平面）图形与方程间能否对应、怎样对应的学习已经有了自然的求知欲望. 二、目标分析

1.教学目标

知识技能目标

（1）通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；

（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程；

（3）通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系. 第

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情感、态度与价值观目标 通过合作学习，学生间、师生间的相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，逐步养成质疑的科学精神. 展现人文数学精神，体现数学文化价值及其在在社会进步、人类文明发展中的重要作用. 2.教学重点和难点

重点：曲线与方程的概念理解、求曲线的方程的步骤；

难点：对曲线与方程对应关系的理解、几何条件的代数化。

曲线与方程是贯穿平面解几的知识，是解析几何的核心。求曲线方程是几何问题得以代数研究的先决，求曲线方程的过程类似数学建模的过程，是课堂上必须突破的难点。

三、教学过程

（一）概念引入

【课前准备】一把直尺，一张画有一点的白纸，计算器

师：同学们，现在你们手上有一张A4纸，请在纸上写上姓名。请问此时你与这张白纸有了什么关系，请用数学语言回答？

生：一一对应。

师；很好。现在老师手上也有一张A4纸，如何利用直尺在这张A4纸上画出一点，使得这点和你的纸上点的位置一样呢？（不可以将两张纸重合在一起）

【学生活动】

生：将白纸对折两次，以纸的中心为原点，两条折痕为坐标轴建立直角坐标系。利用直尺量出点的坐标，从而得到点的位置。

师：为什么坐标可以确定点的位置？

生：因为点与坐标一一对应。

师：很好。【板书】

如果这个点纸内运动，要求：点沿着东北或西南方向运动，那么点运动所得的图形是什么？可以在你的白纸上画画看。

生：是一条直线。

师：此时点的坐标满足什么关系？

生：yxb。

师：点运动形成直线，坐标(x,y)满足的关系式就是直线的方程。【板书】

师：如果这个点在纸内运动，要求：点到原点的距离为1，那么点运动所得的图形是什么？

生：一个圆心在原点，半径为1的圆。

师：此时点的坐标满足什么关系？

生：x2y21

师：点运动形成圆，点的坐标(x,y)满足的关系式就是圆的方程。【板书】

点与坐标一一对应，那么直线与直线方程、圆与圆方程一一对应吗？

生：是的。

师：为什么？

【学生思考，教师引导】

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师：如果你暂时不能回答这个问题，那么我们先来思考：为什么一、三象限的角平分线的方程不是y|x|？（从点的坐标与方程解的关系来考虑）

生：因为一、三象限角平分线上有点的坐标不满足方程y|x|，比如点(1,1)，方程y|x|的解为坐标的点有些不在一、三象限角平分线上，比如(1,1)。

师：若记集合P{(x,y)|(x,y)为直线上的点}，Q={(x,y)|x,y为直线方程的解}，则P与Q是关系是什么？

生：P=Q。

师：经过以上的分析，有同学可以回答为什么直线与直线方程一一对应吗？

生：因为直线上的点的坐标是方程的解，以方程的解为坐标的点在直线上。

师：很好。当然对于圆与圆的方程也可以用同样的方法解释。【板书】

（二）概念生成

师：那么对于一般曲线，你认为曲线与方程有什么联系呢？【板书标题】

【探讨一】

（教师演示PPT，学生回答）

一般地，在直角坐标系中,如果某曲线C (看作点的集合或某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，方程f(x,y)0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)0的曲线。【板书】

（三）概念强化

1、观察下表中的方程与曲线，说明它们有怎样的关系？

序号

方程

曲线

（1）

yx

(2)

xy

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(3)

xy1

22生：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点不都是曲线上的点。

所以曲线是方程所表示曲线的一部分。

（2）曲线上的点的坐标不都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。所以方程表示的曲线是图示曲线的一部分。

（3）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

所以方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线。

122、点(,)在单位圆上吗？

22生：不在。

师：你是如何验证的？

生：将点的坐标代入方程不成立。

师：为什么将点的坐标代入方程检验是否成立即可知道点在不在圆上？

生：曲线上的点的坐标是方程的解。

【探讨二】

我们为什么要建立曲线与方程之间的这种联系？

“曲线C”是图形（几何），“方程f(x,y)0”是等式（代数）。这个概念建立了形和数的一种联系，体现了数形结合的特点。只有方程f(x,y)0是曲线C的方程，曲线C是方程f(x,y)0的曲线时，我们才能达到通过方程来研究曲线的目的，这正是解析几何的本质，用代数方法研究几何。【板书】

（四）实际应用

【展示图片】

师：同学们认识这是那座桥吗？

生：赵州桥。

师：这是我国古代石拱桥的杰出代表：举世闻名的河北省赵县的赵州桥为隋大业初年（公元605年左右）李春所创建，是一座空腹式的圆弧形石拱桥，净跨37m, 宽9m，拱矢高度7.23m，在拱圈两肩各设有二个跨度不等的腹

拱，这样既能减轻桥身自重，节省材料，又便于排洪、增加美观，赵州桥的设计构思和工艺的精巧，不仅在我国古桥是首屈一指，据世界桥梁的考证，像这样的敞肩拱桥，欧洲到19世纪中期才出现，比我国晚了一千二百多年，赵州桥的雕刻艺术，包括栏板、望柱和锁口石等，其上狮象龙兽形态逼真，琢第

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工的精致秀丽，不愧为文物宝库中的艺术珍品。

师：现在有一艘货船宽为6米，船舱顶部为长方形并高出水面5米要过桥，此船能通过吗？

师：这是一个实际问题，如何将它转化为数学问题？

生：建立直角坐标系，求桥的方程。

师：好的。那么如何建立合适的直角坐标系呢？我们要遵循几个原则。

1、尽可能多的使图形上的点（或已知点），落在坐标轴上；

2、充分利用图形本身的对称性；

3、保持图形整体性. 生：以圆拱所对弦AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立直角坐标系. 师：如何求桥的方程？

【给时间学生思考，学生回答，教师板书过程】

生：设圆拱所在圆的半径为R，圆上任意一点为P（x,y）， 则(r7.23)218.52r2

r27.28

圆拱所在圆的圆心为(0,20.05)

所以圆拱的方程为：x2(y20.05)227.282

师：有没有什么问题？

生：。0y7.23

师：很好。由曲线与方程的概念我们知道若没有限制条件，以方程的解为坐标的点不都在曲线上。

师：我们的问题还没有解决，请继续。

生：当x3时，9(y20.05)227.282y7.06

7.065

故货船可以通过。

师：这为同学运用了圆的几何性质来求出圆飞半径与圆心。当然我们也可以直接利用圆的定义来求解。

【PPT演示法二】

解：以圆拱所对弦AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立直角坐标系. 设圆拱所在圆的圆心为G（0，b），半径为R，圆上任意一点为P（x,y）

则

(x0)2(yb)2r因为B(18.5,0),C(0,7,23)在圆G上

22所以 (18.50)(0b)r

22(00)(7.23b)r

解得

b20.05,r27.28所以圆拱的方程是

x2(y20.05)227.282(0y7.23)

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【探讨三】

师：结合刚刚这个例子，请同学们归纳求曲线的方程的一般步骤是什么？

生：建系 设点 列式 化简 证明

师：建立适当的坐标系；

设曲线上任意一点M的坐标为(x,y)；

列出符合条件p(M)的方程f(x,y)0；

化方程f(x,y)0为最简形式；

证明以化简的方程的解为坐标的点都在曲线上。

师：我们再来看一个有趣的问题：架立在光滑地板上的梯子抵墙下滑，一只猫坐在梯子的正中间不动。梯子在下滑过程中猫的运动轨迹是什么呢？

当然你可以真的拿梯子来做实验，不过比较好的方法是用一张长条形的卡片纸，标出代表梯子的端点A、B和P点的位置，再在纸上画出两条直线OX与OY，分别代表地面与墙壁．只要移动卡片纸，保持A与B分别在直线OX与OY上，就可以用铅笔点出P的轨迹．你应该认得P的轨迹是什么形状．

【学生活动】

师：你觉得是什么轨迹图形？

生：是一个圆弧。

师：可以证明吗？首先考虑如何将这个实际问题转化为数学问题？

生：已知一个直角，一条长度为d的线段的两个端点分别在这个直角的两边上滑动，求线段中点的轨迹。

师：很好，请同学们在纸上写出你求曲线方程的过程？

【投影仪展示学生解答过程，教师评讲】

解：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系。

设M(x,y)

AOB为直角三角形，M为AB的中点

OM1ddAB，即x2y2

22222d2(x0,y0)

化简得：xy4 轨迹是四分之一个圆弧。

师：如果猫没有坐在梯子正中间，那么在梯子下滑过程中，它沿怎样的一条路线运动？

【几何画板演示】

师：这个证明过程请同学们课后思考。我们下节课再来讨论。

这个问题与达芬奇椭圆仪的工作原理十分相似。有兴趣的同学可以课后找资料研究研究。

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（五）归纳总结

师：经过本节课的学习，同学们你们有什么收获呢？请谈谈自己的感想。

1、知识方面：我学到了（ ）

2、能力方面：我学会了（ ） 3、情感方面：我感受到了（ ）

生：

师：你还有什么疑问吗？

生：

师：通过本节学习，要理解曲线的方程和方程的曲线的概念，曲线C和方程f（x,y）=0必须满足两个条件。曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法，曲线与方程的这种对应关系，是通过平面直角坐标系建立的，曲线和方程之间的对应关系，实质上是曲线C上点的坐标与方程的解之间的对应关系问题。以及用集合相等来辅助理解曲线的方程和方程的曲线的概念。

体会在数学解题中：数形结合的思想

，

转化与化归的思想。

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