1.2.2 充要条件教学设计和教学实录

1-1.2第二节

命题及其关系、充分条件和必要条件

考点

命题及其关系

充要条件与必要条件

高考试题

考查内容

近三年未单独考查

命题的真假判断多以多选的形式出现在填空题中；充分条件与必要命题分析

条件的判断多与集合、函数、方程、数列、三角函数、不等式、平面向量、立体几何中线面位置关系等交汇考查.

核心素养

1．命题

概念

特点

分类

2.四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系：

使用语言、符号或者式子表达的，可以判断__真假__的陈述句

(1)能判断真假；(2)陈述句

__真__命题、__假__命题

(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于__逆否命题__，原命题的否命题等价于__逆命题__.在四种形式的命题中真命题的个数只能是__0,2,4__. 3．充分条件和必要条件

(1)如果p⇒q，那么p是q的__充分条件__，q是p的__必要条件__. (2)如果p⇒q，q⇒p，那么p是q的__充要条件__. 提醒：

(1)从集合的观点认识充分、必要条件

记法

条件p、q对应的集合分别为A、B

A⊆B B⊆A 关系

AB BA A＝B p是q的充分条件

p是q的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

(2)两个易混

①易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

②易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B错误!A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A错误!B)两者的不同．

1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“命题的否定”与“否命题”是同一个概念．(

) (2)若原命题“若p，则q”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数是1.(

) (3)已知命题“若p成立且q成立，则r成立”，则其逆否命题是“若r不成立，则p不成立且q不成立”．(

) (4)命题“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(

) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 解析：选D

命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”，故选D．

3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A．真，假，真

C．真，真，假

B．假，假，真

D．假，假，假

解析：选B

原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B．

4．(教材习题改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B

若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B．

5．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的(

)

[明技法]

命题的关系及真假判断

(1)在判断命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．

(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．

[提能力]

【典例】

(1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；

p4：若复数z∈R，则∈R. 其中的真命题为(

) A．p1，p3

C．p2，p3

B．p1，p4

D．p2，p4

(2)原命题为“若＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A．真，真，真

C．真，真，假

B．假，假，真

D．假，假，假

解析：(1)选B

设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．

对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题，

对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题；

对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0错误!a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题；

对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B．

(2)选A

由＜an，得an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．

[刷好题]

1．(金榜原创)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(

) A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

解析：选D

将原命题的条件和结论调换位置可知D成立．

2．下列命题中为真命题的是(

) A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题

B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题

解析：选B

对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项D为假命题．

充分、必要条件的判定及应用

[析考情]

充分、必要条件的判断在高考不经常考查，属冷考点，多以选择题的形式出现，分值5分．作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．

[提能力]

【典例】

(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(2)已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要不充分的条件是(

) A．a>b－1

C．|a|>|b|

B．a>b＋1 D．2a>2b

(3)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为____________.

解析：(1)由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．

(2)因为a>b⇒a>b－1，但a>b－1错误!

a>b，故A是a>b的必要不充分条件；B是a>b的充分不必要条件；C是a>b的既不充分也不必要条件；D是a>b的充要条件．

(3)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P. 则

所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

答案：(1)A

(2)A

(3)[0,3]

[母题变式]

本例(3)条件不变，若¬P是¬S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，

∵¬P是¬S的必要不充分条件，∴P⇒S且S错误!

P. ∴[－2,10][1－m,1＋m]．

∴或

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．

[悟技法]

判断充分、必要条件的三种方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．

(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．

[刷好题]

1．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(

) A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C

当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立；

若x>|y|，因为|y|≥y，所以x>y.所以x>y是x>|y|的必要而不充分条件．

2．(2018·湖北模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)．设条件p：0＜r＜3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则p是q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C

圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)．圆心(1,0)到直线的距离d＝＝2.由条件q：圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则0＜r＜3.则p是q的充要条件．故选C．

3．已知p：≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)＞0，若p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____________. 解析：¬q：(x－a)(x－a－1)≤0⇒a≤x≤a＋1. 由p是¬q的充分不必要条件知：a≤且a＋1≥1且两不等式不能同时取等号⇒0≤a≤. 答案：0≤a≤