3.1.1 变化率问题ppt课件课堂实录

§1.1.1变化率问题

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率[来源:学&科&网Z&X&X&K]

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

(一)、探究新知，揭示概念

教学过程设计

一．创设情景[来源:Zxxk.Com]

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

(二)、探究新知，揭示概念

实例一：气温的变化问题

现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：

（注：

3月18日为第一天）

1、你从图中获得了哪些信息？

2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢? 3、

怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？

师生讨论，教师板书总结：

分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，

当时间从1到32，气温从3.5oC增加到18.6oC，气温平均变化

18.63.50.5321当时间从32到34，气温从18.6oC增加到33.4oC，气温平均变化

因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。

【教师过渡】:“变化率。

33.418.67.4343218.63.50.5

表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均321提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对

“气温平均变化率”的理解。

实例二：气球的平均膨胀率问题。

【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。

假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？

思考：

1、

这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？

2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。

学生讨论，小组交流，教师巡视。

学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。

【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。”

（1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel演示）

（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel演示）

3、当空气容量从V1增到加V2时，气球的平均膨胀率是多少？

讨论得出： r(v2)r(v1)实例三：高台跳水运动

【学生思考】：

在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是h(t)= -4.9t2+6.5t+10。

v2v11、运动员在每段时间内的速度是匀速的吗？

2、分别计算运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2这两段时间里的平均速度。 3、当时间从t1到t2时，运动员的平均速度是多少？

（三）、分析归纳，抽象概括

【教学活动】：针对下面三个实例，教师引出问题：“我们通过观察图象得出了气温的平均变化率、通过分析表格，得出气球的平均膨胀率、通过分析解析式，得到了运动员的平均速度”。（幻灯出示）

1、

实例一:在气温的变化问题中，当时间从t1到t2时,气温的平均变化率=f(t2)f(t1)t2t1

2、实例二: 在气球的半径变化问题中，当体积从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率=r(v2)r(v1)v2v1

2、

实例三：在高台跳水问题中，当时间从t1到t2时，运动员的平均速度=h(t【学生思考】

：

1. 上述三个问题，有什么共同特征? 2. 你能归纳出分析此类问题的一般方法吗？

3.

下图中函数从x1到x2的平均变化率怎样计算？

2)h(t1)t2t1

4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？

5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么?

讨论得出：

1．上述问题中的变化率可用式子

化率

2．若设xx2x1, ff(x2)f(x1)

(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+f(x2)f(x1)表示,

称为函数f(x)从x1到x2的平均变x2x1x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) 3．则平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf

xxx2x1x（四）．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

（五）．布置作业