3.1.2 导数的概念优质课一等奖

教学设计：

导数的概念及其运算

考纲解读：1 了解导数概念的实际背景

2 通过导数图象直观理解导数的几何意义

3 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数导数

重点：求简单函数的导数，求曲线的切线方程

难点：给出点是切点和不是切点的区别；给出点不是切点的处理办法

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

f（x0＋Δx）－f（x0）Δylim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，Δx→0Δx→0ΔxΔxΔyf（x0＋Δx）－f（x0）即f′(x0)＝Δlim＝lim. x→0ΔxΔx→0Δx(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的

(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为

．

(3)函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝

为f(x)的导函数．

2．基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝

n*f(x)＝x(n∈Q)

f′(x)＝

f(x)＝sin x f′(x)＝

f(x)＝cos x f′(x)＝

xf(x)＝a (a>0且a≠1)

f′(x)＝

xf(x)＝e

f′(x)＝

f′(x)＝

f(x)＝logax (x>0，a>0且a≠1)

f′(x)＝

f(x)＝ln x (x>0)

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝

；

(2)[f(x)·g(x)]′＝

；

f（x）′＝

(g(x)≠0)．

(3)g（x）1．辨明三个易误点

－(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)′＝nxn1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a混淆．

(2)求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．

(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．

2．导数运算的技巧

(1)把函数分为基本函数的和、差、积、商的形式，再利用运算法则求导数；

(2)适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．

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A．1

C.－1

B.2 D.－2 x＋1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0x－15. (2017·西宁检测)已知曲线y＝垂直，则a＝(

) A．－2

1C.－2

B.2 1D.2

[规律方法]

1.导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．

课时小结：1．f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0. 2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意变换的等价性．

[易错与防范] 1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．

2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．

3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．

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