1.2.1 充分条件与必要条件教学活动设计方案

1.2.1

充分条件与必要条件

学习目标

1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.2.掌握充分条件、必要条件的判断方法.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.

知识点一

充分条件与必要条件的概念

给出下列命题：

(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；

(2)若ab＝0，则a＝0. 思考1

你能判断这两个命题的真假吗？

思考2

命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？

梳理

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作______，并且说p是q的________，q是p的________. 知识点二

充分条件与必要条件的判断

命题真假

推出关系

条件关系

若“p，则q”为真命题

p________q p是q的________条件

q是p的________条件

“若p，则q”为假命题

p ________q

p不是q的________条件

q不是p的________条件

知识点三

充分条件、必要条件与集合的关系

思考

“x<2”是“x<3”的__________条件，“x<3”是“x<2”的__________条件. 梳理

A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} A⊆B p是q的充分条件

q是p的必要条件

q是p的充分条件

p是q的必要条件

AB p是q的不充分条件

q是p的不必要条件

q是p的不充分条件

p是q的不必要条件

B⊆A BA 类型一

充分条件与必要条件的概念

引申探究

例1(1)中p是q的必要条件是________.

例1

(1)判断下列说法中，p是q的充分条件的是__________________. ①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；

②已知α，β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p：a与b无公共点，q：α∥β；

③设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”.

(2)下列各题中，p是q的必要条件的是________. ①p：x2>2 016，q：x2>2 015；

②p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，q：0

③已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：log2a>log2b>0. 反思与感悟

充分条件、必要条件的两种判断方法

(1)定义法

①确定谁是条件，谁是结论；

②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；

③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件. (2)命题判断法

①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件. 跟踪训练1

对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(

) A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件

B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件

C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件

D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件

类型二

充分条件与必要条件的应用

引申探究

本例条件变为q是p的必要条件，求正实数m的取值范围.例2

已知p：x2－x－6≤0，q：x2－4x＋4－9m2≤0，若q是p的充分条件，求正实数m的取值范围.

反思与感悟

(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则AB.

(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值. 跟踪训练2

已知p：x<－2或x>10，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的必要条件，求负实数a的取值范围.

1.设x∈R，则x>2的一个必要条件是(

) A.x>1

C.x>3

B.x<1 D.x<3 2.若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(

) A.充分条件

B.必要条件

C.既不是充分条件，也不是必要条件

D.无法判断

3.设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的(

) A.充分条件

B.必要条件

C.既不是充分条件，又不是必要条件

D.无法判断

4.已知p：－40的一个充分条件是4x＋p<0，若存在，求出p的取值范围，否则，说明理由.

1.充分条件、必要条件的判断方法

(1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立. (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充

分必要条件. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.

答案精析

问题导学

知识点一

思考1

(1)真命题；(2)假命题．

思考2

命题(1)中只要满足条件x>a2＋b2，必有结论x>2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能有结论b＝0. 梳理

p⇒q

充分条件

必要条件

知识点二

⇒

⇏

充分

必要

充分

必要

知识点三

思考

充分

必要

题型探究

例1

(1)①

解析

对①，p⇒q；②p⇏q；③p⇏q，故选①. (2)②③

解析

①q⇏p；②p：0≤a<1，故q⇒p；

③log2a>log2b>0⇒a>b>1，

∴q⇒p，故选②③. 引申探究

①②

解析

①x2－2x＋1＝0⇒x＝1，即q⇒p；

α∥β，②a⊂α，⇒a与b无公共点，即q⇒p；

b⊂β③q⇏p．故选①②. ac>bc，跟踪训练1

B

[∵⇒a>b，

c>0ac>bc，⇒a

c<0

∴ac>bc⇏a>b，而由a>b⇏ac>bc，

∴“ac>bc”既不是“a>b”的充分条件，也不是必要条件，

故A，C错误．

ac＝bc，又⇒a＝b，

c≠0ac＝bc，⇏a＝b，

c＝0

∴由ac＝bc⇏a＝b，

而由a＝b⇒ac＝bc，

∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故选B.] 例2

解

解不等式得p：－2≤x≤3，

当m>0时，q：2－3m≤x≤2＋3m，

由q是p的充分条件可得q⇒p，

2－3m≥－2，1从而2＋3m≤3，⇒001所以正实数m的取值范围为0

解

由p：－2≤x≤3，q：2－3m≤x≤2＋3m(m>0)，

∵q是p的必要条件，∴p⇒q，

2－3m≤－2，从而2＋3m≥3，m>0，4解得m≥. 34∴正实数m的取值范围为m≥. 3跟踪训练2

解

∵a<0，解不等式得

q：x<1＋a或x>1－a，

∵p是q的必要条件，∴q⇒p，

1＋a≤－2，∴1－a≥10，a<0，

解得a≤－9. 故负实数a的取值范围是a≤－9. 当堂训练

1．A

2.A

3.A 4．[－1,6]

5．解

由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1. 令A＝{x|x>2或x<－1}，

p由4x＋p<0，得B＝x|x<－4. p由题意得B⊆A，即－≤－1，即p≥4，

4p此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，

4∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的一个充分条件．