1.2.1 充分条件与必要条件名师教学设计1

1．2_充分条件与必要条件

1.

教学目标 1.知识与技能

（1）理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念．

（2）掌握充分条件与必要条件的判断方法

2．过程与方法

（1）培养学生的观察与类比能力,通过大量的问题，会观察其共性及个性．

（2）培养学生的归纳能力，总结出一般解题规律．

3．情感、态度与价值观

通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受．

2. 教学重点/难点 重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．

难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性

3. 教学用具 多媒体

4. 教学过程 一、问题导思

1.给出下列命题：

（1）若x＞a2＋b2，则x＞2ab. （2）若ab＝0，则a＝0. （3）若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数．

命题（1）的条件成立，结论一定成立吗？命题（2）呢？

【提示】

命题（1）中只要满足条件x＞a2＋b2，必有结论x＞2ab成立；命题（2）中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能b＝0. 命题“如果p，则q”为真命题，我们就说由p成立可以推出q成立，记作p⇒q，读作“p推出q”．这时称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？

【提示】

因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．

如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q. p是q的充要条件，又常说成“q当且仅当p”或“p与q等价”

二、典例精讲

例1. (1) 设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a//b”的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

（2）下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( ) A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C.a2>b2

D．a3＞b3 【解析】

（1）当|a·b|＝|a//b|时，

若a，b中有零向量，显然a//b；

若a，b均不为零向量，则|a·b|＝|a||b||cosa，b|＝|a||b|，

∴|cosa，b|＝1，

∴a，b＝π或0，

∴a//b，即|a·b|＝|a||b|⇒a//b. 当a//b时，a，b＝0或π，

∴|a·b|＝||a||b|cosa，b|＝|a||b|，

其中，若a，b有零向量也成立，即a//b⇒|a·b|＝|a||b|，

综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a//b”的充分必要条件．

（2）若a＞b＋1，则a＞b一定成立；但若a＞b，a＞b＋1不一定成立，因此“a＞b＋1”是“a＞b”的一个充分不必要条件；

若a＞b－1，则a＞b不一定成立，不是充分条件；

若a2＞b2，则a＞b不一定成立，不是充分条件；

若a3＞b3，则a＞b一定成立；若a＞b，则a3＞b3也一定成立，因此“a3＞b3”是“a＞b”的一个充要条件．

【答案】

（1）C（2）A 【小结】充分条件、必要条件和充要条件反映了条件p与结论q之间的因果关系，在具体判断时，常用如下方法：

方法一 定义法：

①若p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；

②若q⇒p，但p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；

③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件；

④若p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．

方法二 集合法

如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断．

①若A⊆B，则p是q的充分条件；

②若A⊇B，则p是q的必要条件；

③若A＝B，则p是q的充要条件；

④若A⊆B，且B⊆A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件．

方法三 等价法

当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可以利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即判断其逆否命题是否成立．

三、变式训练

（1）设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的() A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

（2）设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的() A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】

（1）若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．

（2）由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．

【答案】

（1）A（2）C

命题方向2

充分条件、必要条件、充要条件的应用

例2.是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．

【解析】由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1. 令A＝{x|x>2或x<－1}，由题意得B⊆A，即－≤－1，即p≥4，

此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，

∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．

【小结】

设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A⊆B. 四、

当堂检测

1．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的(

)条件．

A．充分而不必要的条件

B．必要而不充分的条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

【解析】因为逆否命题为假，那么原命题为假，即A /⇒B，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．

【答案】B 2．不等式成立的一个充分不必要条件是( ) A．－1＜x＜0或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1 C．x＞1 D．x＞1 【解析】

画出y＝x与y＝的图象，两图象的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x－＞0⇔－1＜x＜0或x＞1，显然x＞1；但D/⇒x＞1. 【答案】D

3．若集合A＝{x|x2－5x＋4＜0}，B＝{x||x－a|＜1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】

A＝{x|x2－5x＋4＜0}＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|a－1＜x＜a＋1}．若B⊆A，则满足解得2≤a≤3，所以“a∈(2,3)”是“B⊆A”的充分不必要条件，选A. 【答案】

A 4．已知p：x2－4x－5≤0，q：|x－3|＜a(a＞0)．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

【解】

A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－a＋3＜x＜a＋3}，因为p是q的充分不必要条件，从而有A⊆B.故解得a＞4.

板书 充分条件与必要条件