测试教案和课堂实录

二次函数背景下---求点的坐标教学设计

中山市实验中学

李婷玉

【教学内容分析】

二轮中考复习专题的目标即高效率地复习中考中的常考点和难点，在广东中考近几年的第23题都有考察到求点的坐标，坐标是表示线段长度的基础，也是求常考点，线段长，面积的基石。因此如何联系已知条件，选择合适地方法来求点的坐标是本课时的研究方向。本课时主要在二次函数背景下，深化学生对求点坐标的解题步骤，并研究如何将斜线段转化成竖直或水平线段来建立等量关系；

【教学目标】

1.掌握求点的坐标的一般步骤；具备过需求得的点作辅助线的意识。

2.培养学生观察图形，形成点的坐标与已有条件的产生联系的能力；

3.感受数学思维过程的条理性，提高学生的数学思维能力，提高分析、解决问题能力，渗透建模思想．

【教学重难点】

重点：掌握二次函数背景下求点的坐标的基本步骤，并会构造辅助线。

难点：能根据所给条件，选择适当的方法来建立等量关系，求点的坐标。

【教学手段】

多媒体课件、学案等

【教学方法】

引导发现，练习提高

【特殊说明】

为了便于上课表述，统称水平或竖直线段为基本线段。

1

【教学过程设计】

教学环节

一、再现中考真题，引发深思

二．

回顾旧知

教学内容

PPT展示广东中考2014,2018,2019年的第23题，其中都涉及到求点的坐标问题；

提出问题：广东中考题23函数的综合题经常考查什么？

y

Ax，y

x

1:提问：点A到x轴的距离为？点A到y轴的距离为?

师生活动

老师提问，引发学生认识到23题函数综合题中求点的坐标是易考点。

老师层层递进，提出问题，学生在已有的知识素养上口答出结论，

并设置适当的个人提问环节。

2:图中竖直线段和水平线段AB的长度如何用坐标表示？

设计意图

通过历年真题引入复习点，更直观，更有说服力。

设计2个问题，一起复习和回顾用坐标来表示竖直线段和水平线段，为了便于上课表述，统称这两种线段为基本线段。在用坐标表示长度过程中，强调绝对值的重要性。



三．

典型例题

典型例题：

2

3如图，已知二次函数

y





x



2

x

的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。

2

此题设置了3小问，第1问是中考函数综合题的常规考察，第2问应用坐标来表示水平或竖直线段。并引导学生观察

（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；

（2）根据图中已知点可以求出哪些线段的长度？

总结

：斜线段

勾股定理基本线段

（3）已知点E是X轴上的一点，若AE=1，求E点的坐标。

已知点F是Y轴上的一点，若CF=2，求点F的坐标。

学生短暂思考，并解出（1）问，口答（2）问，老师适当总结；第（3）问请学生台下讲解解题思路。老师板书重要信息。

斜线段AC，BC，如何用坐标来表示它们？斜线段转化成一般线段，从特殊到一般，深化转化的思想；第3问也是从遵循从简单到复杂，设基础问求点的坐标，

在典型例题的原型基础图上共设置了3道思考题。

思考1：设点的坐标来表示竖直线段，建立函数等量关系。此思考题设置的常见的中考题型，学生在已熟悉模型的基础上可以迅速作简答。因此也抽了一组同学接龙回答，调动学生的积极参与性，为后面思考

四：

变式思考

思考1：如图，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不以下的3道变形思考与A,C重合）

过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求当线段PQ的

题，均教师先加以引导最大值时，求点P的坐标。

学生分析题

意，并请学

生顺次接龙

进行思路分

析与讲解．

老师对学生

的思路给予

适当补充和

总结。

思考2：如图，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与

2A,C重合），已知P到AC的距离

PH

，求此时P

2

点坐标。

y

P

问1：PH是基本线段吗？

C(0,3)H问2：PH如何转换到基本线段上呢？

B1,0(3,0)Ax

O

3

方法一：

作如图辅助线，易得

∠PEH＝45°，

2,则PE1

PH2

拓展思考：

若∠COB不是45°时，若改点C（0,4），还有其他方法求这条竖直线段PE的长度吗？

方法二：

PEHCAO，

可以求出线段PE长度

老师总结：

斜线段三角函数基本线段

相似斜线段基本线段

求点P的坐标通常需过点P构造竖直或水平线段。

要求学生归纳：求点的坐标一般步骤？

设点

---------- 求点

-------定点

（构造基本线段）（根据等量关系）（检验）

等量关系的建立? 勾股，相似，三角函数

思考3：

（1）求S△ABC. （2）

抛物线上AC上方是否存在一动点P, 使得

S

△

A

BP



S

△

A

BC

，若存在，求点P坐标。若不存在，请说明理由

4

老师引导学生注意斜线的转换，同时学生在思考1的基础上进行解题，上台讲解思路。

思考3：

学生口答第（1）问

学生上台讲解第（2）问。

老师从第3问引出拓展思考题，引发学生探讨请学生上台展示多种求思考S△ACD 方法，并利用结论解答思题2,3的设问作了铺垫。

思考2：设置斜线段长度已知，需通过特殊45°角来斜线段转化到竖直线段。

并加深难度，进一步思考非特殊角时，斜线段如何转化？

此题分别从两个解题方法中来总结归纳出求点的坐标一般步骤，建立等量关系时，利用的数学常规思路。思考2是本课时的难点和亮点。

（3）抛物线上AC上方是否存在一动点D, 使ABC得

S

△

A

CD



S

△

，若存在，求点D坐标。若不存在，请说明理由。

为解决思考（3）中第3问：可转换

思考（3）：抛物线上AC上方是否存在一动点D,使得

S

△ACD＝6，若存在，求点P 坐标。若不存在，请说明理由。

并拓展思考以下问题：

求三角形三边不含基本线段时，△ACD的面积还可以有其他求法吗？简化以下问题：

若A, D，C三点坐标已知，S△ACD 可以通过哪些

方法将面积表示出来？

考3的第（3）问。

老师在学生讲解的基础上做适当补充和知识点总结。

割补法总结：

三角形底高为基本线段的三角形

继续回到思考（3）：抛物线上AC上方是否存在一动点D,使得

S△ACD＝6，若存在，求点P 坐标。若不存在，请说明理由。

5 思考3设置了求坐标与面积相结合，求面积即求线段问题，第（1），（2）问需求的三角形均有边是平行坐标轴的线段。

第（3）问从三边均不平行坐标轴，引导学生思考三角形的底和高如何转换成基本线段。

设问由易到难，便于学生理解用线段的转换这一本质。同时开拓了学生的思路。

形成模型，总结面积公式。

五：

归纳总结

方法归纳：

学生自行归纳，老师补充

深化归纳，加深学生认识。

六：中考原题再现

--讨论思考

学生自行讨论和讲解

在之前做过的中考题的这个学情下，看自己先前的解题过程，主要针对求左边的设问来进行讨论和分享。

来深化对本课时的认识。

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七：作业布置

针对练习：

11（2014，广东）如图，已知A(－4，)，B(－1，2)是一次2m函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y＝(m≠0，x<0)图象的x两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D. (1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

(2)求一次函数的解析式及m的值；

(3)P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA与△PDB的面积相等，求点P的坐标．

2.如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A（－1，0）、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．(1)

求抛物线的解析式；

(2)

(2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线

BC对称的点的坐标；

(3)

在(2)的条件下，连结BD，点P为抛物线上一点，

且∠DBP＝45°，

求点P的坐标．

7 [来源学。科。网Z。X。XK

教师布置作业，学生认真记录．

巩固所学的知识，熟悉求二次函数有关的点的坐标专题复习课，加强知识的运用能力．

133. （2013，广东）如图，抛物线y＝x2－x－9与x22轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC. (1)求AB和OC的长；

(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与A、B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值，此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留π)．

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