正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系优秀课堂实录

24.3 正多边形和圆

教学内容

1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．

2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．

3．会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. 教学目标

了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．

复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容．

重难点、关键

1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系．

2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．

教学过程

一、复习引入

请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

∵AB=BC=CD=DE=EF ∴AB=BC=CD=DE=EF 11BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC 2211 ∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD 22 又∴∠A= ∴∠A=∠B 同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A

又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

ED

O

CF

AMB完成下表

正多边

形边数

3 4 6 内角

中心角

外角

n

例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．

分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中，OA=a，AM=360=60°，•△OBC是611AB=a 利用勾股定理，可得边心距

22 OM=a(a)=2122123a 1133×AB×OM=6××a×a=2222 ∴所求正六边形的面积=6×3a2 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．

三、巩固

1、填写表格

正多边形半径

边数

3 4 6

边长

边心距

周长

面积

2、如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度.（不取近似值）

3. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm 4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．

练习．1.如图所示,正六边形ABCDEF内接于☉O,则∠ADB的度数是( C )

A.60°

B.45°

C.30°

D.22.5°

2.圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,则∠APB的度数是( C )

A.36°

C.72°

D.108°

B.60°

3.若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长,则这段弧所对的圆心角为( D )

A.18°

C.72°

B.36°

D.144°

四、归纳小结（学生小结，老师点评）

本节课应掌握：

1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．

2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系．

3．运用以上的知识解决实际问题．

五、布置作业

1．教材P117 复习巩固1 综合运用5、7 P118 8．

2．选用课时作业设计．

课时作业设计

一、选择题

1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）．

A．60° B．45° C．30° D．22．5°

(1) (2) (3) 2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）．

A．36° B．60° C．72° D．108°

3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（ ）

A．18° B．36° C．72° D．144°

二、填空题

1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．

3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．

三、综合提高题

1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．

（1）求证：四边形CDEM是菱形；

2 （2）设MF=BE·BM，若AB=4，求BE的长．

答案: 一、1．C 2．C 3．D 二、1．3a2 2． 3．r 3r 60°

4三、1．设BC与⊙O切于M，连结OM、OB，

则OM⊥BC于M，OM=3a，

6

连OE，作OE⊥EF于N，则OE=OM=33a，∠EOM=45°，OE=a，

66∵EN=1266a，EF=2EN=a，∴S正方形=a．

61262．设正六边形边长为a，则圆O半径为a，

由题意得：2a=6，∴a=3．

如右图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心，

过O作OD⊥AB，垂足为D，

则OD=r6，•则∠DOA=OADBwww.czsx.com.c18013=30°，AD=AB=，

622在Rt△ABC中，OD=r6=33cm，

2∴S=6·112733ar6=×3××6=22223cm2．

3．略. 课后教学反思：_______________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________