1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）获奖说课稿

第二节

空间几何体的表面积与体积

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

2．空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体

柱体(棱柱和圆柱)

锥体(棱锥和圆锥)

台体(棱台和圆台)

球

[小题体验]

1．(2016·全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

) 表面积

S表面积＝S侧＋2S底

S表面积＝S侧＋S底

S表面积＝S侧＋S上＋S下

S＝4πR2

体积

V＝Sh

1V＝Sh

31V＝(S上＋S下＋S上S下)h

34V＝πR3

3S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝π(r＋r′)l

A．20π

C．28π

B．24π

D．32π

解析：选C

由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：1l＝22＋232＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π．

22．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以该几何体的体积V＝1×2×3×3＝33．

S·h＝2答案：33 3．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为________．

解析：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，∴AD⊥平面B1DC1．

111∴VA-B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2×3×3＝1．

332答案：1

1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．

2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．

3．易混侧面积与表面积的概念．

[小题纠偏]

1．(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．

答案：2∶3

1∶1 2．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．

解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S＝13×4×2＋2×2×2＋4×22×2＋4×6＋×(2＋6)×2×2＝72＋162．

2答案：72＋162

考点一

空间几何体的表面积基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．(易错题)(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(

) A．1

C．4 B．2 D．8 解析：选B

如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球1的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr22＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2．

又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B．

2．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(

)

A．8＋22 B．11＋22 C．14＋22 D．15 解析：选B

由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图

所示．

直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋122，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝112＋22．

3．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为(

)

A．125 C．24 解析：选A

由三视图得，

这是一个正四棱台，

由条件知斜高h＝22＋12＝5，

侧面积S＝2＋4×5×4＝125．

2[谨记通法]

几何体的表面积的求法

(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．

(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．注意衔接部分的处理，如“题组练透”第1题．

考点二

空间几何体的体积重点保分型考点——师生共研

B．242 D．123

[典例引领]

1．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

12A．＋π

3312C．＋π

3612B．＋π

33D．1＋2π

6解析：选C

由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为2114π2312，从而该几何体的体积为×12×1＋××＝＋π．

23232362．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

)

1A． 81C． 61B．

71D．

5解析：选D

由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为

111V1＝××1×1×1＝，

32615剩余部分的体积V2＝13－＝．

661V161所以＝＝．

V2556

[由题悟法]

有关几何体体积的类型及解题策略

常见类型

球的体积问题

解题策略

直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径

根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解

将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解

常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需不规则几何体的体积问题

采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解

[即时应用]

1．(2016·西安质检)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为(

) 锥体、柱体的体积问题

以三视图为载体的几何体体积问题

4A．

37C．

35B．

2D．3 解析：选A

根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示．则该几何体的体积是V几何体＝V三棱柱1114＋V三棱锥＝×2×1×1＋××2×1×1＝．

23232．(2017·云南省统检)如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图，则被削掉的那部分的体积为(

)

π＋2A． 35πC．－2 3解析：选B

由三视图可知，

剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成，

1111π2其体积V＝××π×12×2＋××2×1×2＝＋，

323233π25π－2∴被削掉的那部分的体积为π×12×2－3＋3＝3．

3．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3．

B．5π－2

32D．2π－

3

解析：由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,4 cm,2 cm，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm，2 cm，4 cm．

几何体的表面积为(2×2＋2×4＋2×4)×2×2－2×2×2＝72(cm2)，

体积为2×2×4×2＝32(cm3)．

答案：72

32

考点三

与球有关的切、接问题题点多变型考点——多角探明

[锁定考向]

与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变．

常见的命题角度有：

(1)正四面体的内切球与四棱锥的外接球；

(2)直三棱柱的外接球；

(3)正方体(长方体)的内切、外接球．

[题点全练]

角度一：正四面体的内切球与四棱锥的外接球

S11．(2017·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝S2________．

32解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a＝3a2，其内切球半径4πa2S13a211662为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr＝，则＝443126S2π2a663＝．

π答案：

角度二：直三棱柱的外接球

2．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(

) 317A．

213C． 2B．210 D．310 63

π解析：选C

如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点151M．又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝

22252＋62＝13．

22

角度三：正方体(长方体)的内切、外接球

3．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(

) A．6π

6πB．

3D．3π

3πC． 6

解析：选C

平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC＝CD1＝AD1＝2，所以内切圆的半径r＝26×tan 30°＝，

2611所以S＝πr2＝π×＝π．

66[通法在握]

“切”“接”问题处理的注意事项

(1)“切”的处理

解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．

(2)“接”的处理

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．

[演练冲关]

1．(2017·广州市综合测试)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为(

) A．20π

C．5π

B．205π

355π

6D．解析：选D

由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r＝1，其高h＝1，∴球半径为R＝h2r2＋2＝15445355π1＋＝，∴该球的体积V＝πR3＝×π＝．

4233262．(2016·河南省六市第一次联考)三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝15，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为(

) 25A．π

383C．π

3B．25π

283π

2D．解析：选D

由题可知，△ABC中AC边上的高为15－32＝6，球心O在底面ABC5的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，∴x2＝32＋(6－x)2，解得x＝6，4PC27583∴R2＝x2＋＝＋1＝(其中R为三棱锥外接球的半径)，∴外接球的表面积S＝2884πR2＝83π，故选D．

2