1.1.3 四种命题间的相互关系获奖说课稿

1．1．2

四种命题

1．1．3

四种命题间的相互关系

1．了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题．

2．理解四种命题之间的关系，会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假．

一、自主预习

1．四种命题

(1)原命题与逆命题

(2)原命题与否命题

(3)原命题与逆否命题

2．四种命题的真假性

(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

(2)四种命题的真假性之间的关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

二、预习评价

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．(

) (2)两个互逆命题的真假性相同．(

)

(3)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)√

“若x2＝1，则x＝1”的否命题为(

) A．若x2≠1，则x＝1

C．若x2≠1，则x≠1

答案：C

命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(

) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

答案：B

命题“若|a|＝|b|，则a＝b”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(

) A．0

C．2

B．1 D．4 B．若x2＝1，则x≠1 D．若x≠1，则x2≠1 解析：选C．原命题是假命题，则逆否命题也是假命题．逆命题：若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题，因此否命题也是真命题．所以四个命题中真命题的个数为2．

命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是__________________，逆否命题是________________．

答案：若a＞0，则a＞1

若a≤0，则a≤1 三、课堂练习

探究点1

写原命题的其他三种命题

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)全等三角形的对应边相等；

(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0．

【解】

(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；

逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；

否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；

逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．

(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；

逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；

否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；

逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2．

写出一个命题的其他三种命题的步骤

(1)分析命题的条件和结论．

(2)将命题写成“若p，则q”的形式．

(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．

[注意]

如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

1．原命题“若x≤－3，则x＜0”的逆否命题是(

) A．若x＜－3，则x≤0

C．若x≥0，则x＞－3

B．若x＞－3，则x≥0 D．若x＜0，则x≤－3 解析：选C．易知原命题的逆否命题是“若x≥0，则x＞－3”．

2．(2018·山东济南外国语学校高二(下)期中考试)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(

) A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

解析：选D．条件“a＝－b”和结论“|a|＝|b|”互换后得到逆命题：若|a|＝|b|，则a＝－b．故选D．

探究点2

四种命题的关系及真假判断

下列命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．

其中是真命题的是________．

【解析】

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题，所以真命题是①②③．

【答案】

①②③

(1)四种命题关系判断的两个要领

①在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件和结论，再比较每个命题的条件和结论之间的关系．

②原命题与逆否命题互为逆否命题，逆命题与否命题也互为逆否命题．

(2)判断四种命题真假的方法

①要正确理解四种命题间的相互关系．

②正确利用相关知识进行判断推理．

③若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．

分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

9(1)若q≤，则方程x2＋3x＋q＝0有实根；

4(2)若ab＝0，则a，b中至少有一个为0．

9解：(1)逆命题：若方程x2＋3x＋q＝0有实根，则q≤．真命题．

49否命题：若q＞，则方程x2＋3x＋q＝0无实根．真命题．

49逆否命题：若方程x2＋3x＋q＝0无实根，则q＞．真命题．

4(2)逆命题：若a，b中至少有一个为0，则ab＝0．真命题．

否命题：若ab≠0，则a，b均不为0．真命题．

逆否命题：若a，b均不为0，则ab≠0．真命题．

探究点3

等价命题的应用

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的真假．

【解】

原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．

判断真假如下：

抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，

因为a≥2，

所以4a－7＞0，

即抛物线与x轴有交点，

所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，

故原命题的逆否命题为真，从而原命题为真．

等价命题的应用原则

(1)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接

地证明原命题为真(假)命题．

(2)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．

证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0．

证明：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

若a＋b<0，则a<－b，b<－a．

又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

所以f(a)

所以f(a)＋f(b)

即原命题的逆否命题为真命题．所以原命题为真命题．

四、课堂反馈

11．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥”的否命题是(

) 21A．若a2＋b2＜，则a＋b≠1 21B．若a＋b＝1，则a2＋b2＜

21C．若a＋b≠1，则a2＋b2＜

21D．若a2＋b2≥，则a＋b＝1 2解析：选C．将原命题的条件与结论同时否定，得否命题为“若a＋b≠1，则a2＋b2＜1”．故选C．

22．(2018·浙江宁波四中月考)证明“若x2＋y2＝2，则x＋y≤2”时，可以转化为证明(

) A．若x＋y≤2，则x2＋y2＝2 B．若x＋y＞2，则x2＋y2≠2 C．若x2＋y2≠2，则x＋y＞2 D．若x＋y≤2，则x2＋y2≤2 解析：选B．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以可以转化为证明“若x＋y＞2，则x2＋y2≠2”，故选B．

3．下列命题中为真命题的是(

) A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题

B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题

解析：选A．命题：“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”是真命题．故选A．

4．给出下列命题：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；

③正方形的四条边相等；

④圆内接四边形对角互补；

⑤对角不互补的四边形不内接于圆；

⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．

解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．

答案：②和④，③和⑥

①和⑥，②和⑤

①和③，④和⑤

五、知识结构

深化拓展

对四种命题相互关系的三点认识

(1)四种命题中原命题具有相对性，任意确定一个为原命题，其逆命题、否命题、逆否命题就确定了，所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性．

四种命题之间的相互关系

(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中，有两对互逆命题，两对互否命题，两对互为逆否命题，它们分别为：

①两对互逆命题：原命题与逆命题，否命题与逆否命题；

②两对互否命题：原命题与否命题，逆命题与逆否命题；

③两对互为逆否命题：原命题与逆否命题，逆命题与否命题．

(3)由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以原命题与其逆否命题是等价命题，因此当直接证明或判断原命题困难时，可以转化成证明其逆否命题．

[课时精练] [A

基础达标] 1．命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的逆命题是(

) A．若a＞b，则a＋c≤b＋c

B．若a＋c≤b＋c，则a≤b

C．若a＋c＞b＋c，则a＞b

D．若a≤b，则a＋c≤b＋c

解析：选C．命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，从而，命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的逆命题是“若a＋c＞b＋c，则a＞b”．

2．(2018·上海金山中学期中考试)命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是(

) A．若A∪B≠A，则A∩B≠B

B．若A∩B＝B，则A∪B＝A

C．若A∩B≠B，则A∪B≠A

D．若A∪B≠A，则A∩B＝B

解析：选A．否命题对命题的条件和结论都否定，故选A．

3．(2018·广东佛山高二(上)期末考试)已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a的平方等于0，则a不是正数，则p是q的(

) A．逆命题

C．逆否命题

B．否命题

D．否定

解析：选C．根据四种命题的关系，知“正数a的平方不等于0”的逆否命题是“若a的平方等于0，则a不是正数”．

4．命题“已知a，b为实数，若a>b，则a>b”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是(

) A．0

C．2

B．1 D．4 解析：选C．互为逆否的命题同真同假，原命题是真命题，故其逆否命题也为真，逆命题为“已知a，b为实数，若a>b，则a>b”，这个命题是假命题，故否命题也为假，从而有2个是真命题．

5．(2018·宝鸡高二检测)有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题为(

)

A．①②

C．①③

B．②③

D．③④

解析：选C．①逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；③当q≤1时，Δ＝4－4q≥0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；④的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题．故选C．

6．(2018·泉州高二检测)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是______________．

解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．

答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 7．在命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．

解析：原命题为真命题，故其逆否命题为真命题，它的逆命题与否命题均为假命题．

答案：2 8．给定下列命题：

①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；

②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；

③“矩形的对角线相等”的逆命题；

④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否命题．

其中真命题的序号是________．

解析：①中，当k＞0时，Δ＝22＋4k＝4＋4k＞0，故方程有实根，为真命题；

②中，其逆否命题为“若x＝2且y＝6，则x＋y＝8”为真，故原命题亦真；

③中，其逆命题为“若一个四边形的对角线相等，则这个四边形为矩形”为假命题；

④中，否命题为“若xy≠0，则x，y全不为零”为真命题，故为真命题的序号是①②④．

答案：①②④

9．写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

解：逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0，是真命题；

否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0，是真命题；

逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0，是真命题．

10．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0无解”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假．

解：(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0有解”．

(2)命题p的否命题是真命题．

判断如下：因为ac＜0，

所以－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根⇒ax2＋bx＋c＞0有解，

所以该命题是真命题．

[B

能力提升] an＋an＋111．原命题为“若＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，2逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A．真，真，真

C．真，真，假

B．假，假，真

D．假，假，假

an＋an＋1解析：选A．＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，2所以其逆否命题和否命题也都是真命题，故选A．

12．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．

解析：由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立，

m－1≤1，所以

m＋1≥2，所以1≤m≤2．

答案：[1，2] 13．主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．

解：张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．

14．(选做题)证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1．

证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．

因为a＝2b＋1，

所以a2－4b2－2a＋1 ＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1

＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1 ＝0．

所以命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．