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题型一

圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线的定义是相应标准方程和简单性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．

研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．

x2y2例1

若点M(2,1)，点C是椭圆16＋7＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．

答案

8－26

解析

设点B为椭圆的左焦点，

点M(2,1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，

而a＝4，|BM|＝2＋32＋1＝26，

所以(|AM|＋|AC|)最小＝8－26.

跟踪训练1

已知两定点F1(－3,0)，F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(

) A．||PF1|－|PF2||＝5

B．||PF1|－|PF2||＝6

C．||PF1|－|PF2||＝7

＝0 答案

A 题型二

有关圆锥曲线简单性质的问题

有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．

x2y2x2y2例2

已知椭圆3m2＋5n2＝1和双曲线2m2－3n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是(

) 15A．x＝±2y

答案

D x2y2跟踪训练2

双曲线a2－b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(

) 3A．2

B.3

C.2

D.2

答案

C 题型三

直线与圆锥曲线的位置关系问题

1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行．

2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题．

3．这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等．

x2y26例3

已知椭圆C：a2＋b2＝1 (a>b>0)的离心率为3，短轴一个端点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆C的方程；

3(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为2，求△AOB面积的最大值．

c6a＝3，(1)设椭圆的半焦距长为c，依题意有a＝3，153B．y＝±2x

C．x＝±4y

3D．y＝±4x D．||PF1|－|PF2||解

x22∴b＝1.∴所求椭圆方程为3＋y＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

①当AB⊥x轴时，|AB|＝3. ②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知|m|33＝2，得m2＝4(k2＋1)．

1＋k2把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，

－6km3m2－1∴x1＋x2＝2，x1x2＝2.

∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2

3k＋13k＋136k2m212m2－112k2＋13k2＋1－m23k2＋19k2＋1－＝(1＋k2)2＝

3k2＋123k2＋123k＋123k2＋1＝＝3＋12k2＝3＋9k4＋6k2＋11212

(k≠0)≤3＋＝4 12×3＋629k＋k2＋6

13当且仅当9k2＝k2，即k＝±3时等号成立．此时Δ＝12(3k2＋1－m2)>0，

当k＝0或不存在时，|AB|＝3，

综上所述，|AB|max＝2. 133∴当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值

S＝2×|AB|max×2＝2. 跟踪训练3

已知向量a＝(x，3y)，b＝(1,0)且(a＋3b)⊥(a－3b)．

(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；

(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围．

解

(1)由题意，得a＋3b＝(x＋3，3y)，a－3b＝(x－3，3y)，

∵(a＋3b)⊥(a－3b)，∴(a＋3b)·(a－3b)＝0，即(x＋3)(x－3)＋3y·3y＝0. x2x2化简得3＋y2＝1，∴Q点的轨迹C的方程为3＋y2＝1. y＝kx＋m(2)由x223＋y＝1

，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，

∴Δ>0，即m2<3k2＋1.①

(ⅰ)当k≠0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP＝yP＋1m＋3k2＋1m从而yP＝kxP＋m＝2，kAP＝xP＝－3mk，又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN. 3k＋1m＋3k2＋11则－3mk＝－k，即2m＝3k2＋1，②

将②代入①得2m>m2，解得0

由②得k2＝12m－11>0，解得m>，

故所求的m的取值范围是2，2. 32xM＋xN3mk＝－，

23k2＋1()1(ⅱ)当k＝0时，|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，m2<3k2＋1，解得－1

当k＝0时，m的取值范围是(－1,1)．

()作业：习题2-3

A组

第7题

B组