习题3.2主要内容及教案内容

空间向量的应用（距离）

株洲市第十八中学

夏振雄

一、

教学内容分析：

本节内容是学习了空间向量的线性运算、数量积运算以及坐标运算之后，在学生初步掌握了一定的直观想象、数学运算、逻辑推理能力的基础上，对空间向量的应用探究。

二、

学生学情分析：

学生已经掌握了解决距离问题的综合方法以及向量运算的相关知识，并具备了通过直观想象和数学运算进行逻辑推理的能力。

三、

教学目标：

①通过具体情境体会向量在解决距离问题的工具性。

②通过情境探究引导学生进行观察、运算以及逻辑推理，从而获得向量解决距离问题的程序性思想。

③通过类比探究获得利用向量解决点到平面距离的程序性知识。

④通过对比式学习，体现不同角度解决空间距离问题的特点和优劣，在情境中培养学生直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养。

四、

重点、难点

教学重点：用向量方法解决点到面的距离

教学难点：用向量方法解决点到面的距离的探究

五、

教学策略

本节课采用“问题导学”模式（即以数学问题为中心，以学生探索活动为主线，以培养学生观察和抽象概括为核心的教学模式。）：由教师提出一系列精心设计的问题，启发学生自主、合作去分析、探索、分享、领悟，从而使学生既获得知识又发展智能的目的。

在教学中通过，对比和类比式探究让学生体会数学问题解决的关联性和差异性，逐一突破难点。

六、

教学过程

（一）

两点间的距离：

【师生活动】

师：我们常见的距离有哪些？

生：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与它平行平面的距离，两平行平面的距离。

师：这些距离都可以转化为两点间的距离，所以先来研究向量法解决两点间的距离。用向量法解决长度问题的常用方法有哪些？

生：两点间距离公式，利用空间向量基本定理，转化为基底向量的数量积运算。

【设计意图】明确常见的距离问题，引导出向量解决长度问题的常见方法。

例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB4,AD3,AA15,BADBAA1DAA1600,求AC1的长.

【师生活动】

师：利用建系写坐标的方式求解例1好不好？

生：不好，因为坐标不好写。

师：所以我们选择什么方式求解？

生：利用空间向量基本定理，将要求的AC1

用基底向量表示出来，转化成基底向量的数量积运算。

【设计意图】将两点间的距离问题转化为向量模长问题，构建利用空间向量基本定理将向量模长问题转化为基底向量的数量积运算求解的策略。

（二）

点到直线的距离：

例2：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB2,AD1,AA13,设点M为AB1D1的重心，求M到AC1的距离

【师生活动】

①学生思考并提出自己解决问题的思路和方法

②对比三种不同角度解决问题的方法

【设计意图】通过对比式探究，体会不同角度解决点到直线距离问题的特点，感受向量方法的优越性。

（三）

点到平面的距离：

探究：如何借助向量解决点到平面的距离？

【师生活动】

①学生独立思考

②学生交流讨论

③学生展示方法

④师生点评完善结论

【设计意图】通过自主思考，合作探究，获得向量解决点到平面距离的求解方式。

例3：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB2,AD1,AA13,求点A1到面DBC1的距离

【师生活动】

①带领学生进行解题策略分析

②将学生分成两组，分别用综合法和向量法求解例3 ③分组演示写题过程，并讲述对应方法的特点

④对比分析两种方法的优劣

⑤获得用向量方法解决点到平面距离的程序

【设计意图】对比综合法和向量方法解决点到平面距离的特点及优劣，体会向量方法解决点到平面距离的优势。通过具体情境的解决归纳出向量法解决点到平面距离的程序，并培养学生直观想象、数学运算和逻辑推理的核心素养。

（四）

直线到平面的距离：

（五）

平面到平面的距离：

【师生活动】

教师提问，学生思考后齐答

【设计意图】通过类比式探究获得向量方法解决直线与它平行平面的距离、两平行平面的距离的程序性知识。

(六) 归纳小结，画龙点睛：

【师生活动】

学生进行归纳小结，教师进行适当的评价

【设计意图】初步构建向量方法解决距离问题的程序性知识，培养学生的表达能力，归纳概括能力及反思能力。

(七) 板书设计：

空间向量的应用（距离）

1.两点间的距离

2.点到直线的距离

3.点到平面的距离

4.直线与平行平面的距离

5.平行平面的距离

学生展示区

（八）作业：

一.必做题在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1,E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离.

二.选做题如何借助向量求两条异面直线间的距离？

【设计意图】分层作业设置，弹性要求，让基础厚的学生勇于挑战，基础稍弱的学生也得到充分的思维锻炼。