1.4.1 全称量词教学目标

1.4全称量词与存在量词

学

习

过

程

与

方

法

新课讲解

探究一：观察下列命题中的量词有何特点：

（1）对任意xR，x3；

（2）所有的正整数都是有理数；

（3）若函数f(x)对定义域D中的每一个x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数；

（4）每一个中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护．

归纳：

1.

叫做全称量词。用符号“

”表示

2.含有全称量词的命题叫

。

3.将变量x的取值范围用M表示，含有变量x的语句抽象为：p(x),q(x),r(x),,表示．则这些全称命题就可概括为“

”，可用符号简记“

”．

例题：判断下列全称命题的真假．

（1）所有的素数都是奇数；

（2）每一个无理数x，x2也是无理数．

（3）xR,x211；

（4）a,bxxmn2,m,nQ，abxxmn2,m,nQ．

探究二：下列命题中量词有何特点？与全称量词有何区别？

（1）存在一个x0R,使2x013；

（2）至少有一个x0Z,x0能被2和3整除；

（3）有些无理数的平方是无理数．

归纳：1.

叫做存在量词。用符号“

”表示

3.含有存在量词的命题叫

。

4.特称命题：“

”可以用符号简记为：

例题：判断下列特称命题的真假．

（1）有一个实数x0，使x022x030；

（2）存在两个相交平面垂直于同一平面；

（3）有些整数只有两个正因数．

练习：1．下列命题中为全称命题的是（

）

(A)有些圆内接三角形是等腰三角形

；

（B）存在一个实数与它的相反数的和不为0；

(C)所有矩形都有外接圆

；

（D）过直线外一点有一条直线和已知直线平行．

2．下列全称命题中真命题的个数是（

）

①末位是0的整数，可以被3整除；②角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；

③对xZ,2x21为奇数．

（A）

0

（B）

1

（C）

2

（D）

3

3．下列特称命题中假命题的个数是（

）

．．．



学

1.4全称量词与存在量词

习

过

程

与

方

法

①xR,x0；

②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．

（A）

0

（B）

1

（C）

2

（D）

3 4．对x(0,)，总a(0,)使得f(x)xa2恒成立，求a的取值范围．

x5. 已知：对xR,方程cos2xsinx3a0有解，求a的取值范围. 探究三：写出下列命题的否定：

（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）xR,x22x10. 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 归纳：一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：

全称命题p：xM,p(x)，

它的否定p：

例题：写出下列全称命题的否定，并判断它们的真假：

（1）p：所有能被3整除的数都是奇数；（2）p：每一个平行四边形的四个顶点共圆；

（3）p：对任意xZ，x2的个位数字不等于3. 1

(4) p：xR,x2x0

(5) p：所有的正方形都是矩形. 4探究四：写出下列命题的否定：

（1）有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；（3）x0R,x0210. 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

归纳：一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：

特称命题p：x0M,p(x0)，

它的否定p：

.

例题：写出下列特称命题的否定，并判断真假. (1)

p：x0R,x022x020；

(2) p：有的三角形是等边三角形；

(3) p：有一个素数含有三个正因数；

(4) p：xR,x22x20；

(5) p：至少有一个实数x，使x310；(6) p：任意两个等边三角形都是相似的；

2(7) p: x0R,x02x020

练习：

1.对下列命题的否定说法错误的是（

）. A. p：能被3整除的数是奇数；p：存在一个能被3整除的数不是奇数

B. p：每个四边形的四个顶点共圆；p：存在一个四边形的四个顶点不共圆

C. p：有的三角形为正三角形；p：所有的三角形不都是正三角形

D. p：xR,x22x20；p：xR,x22x20

2.命题“对任意的xR,x3x210”的否定是（

）. A. 不存在xR,x3x210

B. 存在xR,x3x210

C. 存在xR,x3x210

D. 对任意的xR,x3x210

3. 平行四边形对边相等的否定是

. 4. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是

. 5.已知函数f(x)x2x5

（1）是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意的

xR恒成立，并说明理由；.

（2）若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围

26.若x[2,2],不等式xax3a恒成立，求a的取值范围.

2

1.4全称量词与存在量词