1.2.1 充分条件与必要条件教学设计一等奖

“充分条件与必要条件”教学设计

湘阴一中 周政

一、教学目标

通过本节课学习，要达到以下四个目标：

（1）知识目标：理解充分

、必要、充要条件的定义及简单运用。

（2）能力目标

深刻领会充分、必要、充要条件定义的本质。

能在日常生活和学习中自觉地运用逻辑推理的思想。

（3）德育渗透目标

使学生认识对逻辑知识，特别是对“条件”的推断及推理这种思维方式在日常工作、学习中认识问题和分析问题的自觉运用。

（4）情感目标

通过本节学习，使学生体会到教学的简洁美，感受到数学严谨的逻辑，同时认识到数学知识源自生产生活实际，是人类文化的结晶这一特点。

二、教材分析

1. 本节内容地位和作用

“充分条件与必要条件”内容出现在高中数学第一册第一章第八节，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，具有如下特点：

（1）逻辑性强，抽象度大，辐射面广。

（2）与旧教材比较，除将教学位置前移外，新教材在这部分内容上作了如下处理。

将相关联的知识体系作了相应扩充，在“充要条件”这节内容之前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这两节作知识铺垫。这种处理充分说明“充要条件”这节内容在整个高中数学体系中的基础性和重要性，新教学大纲把教学目标定位在“掌握充要条件的意义”。

从教材编写角度看，新旧教材最大差异在于对“充分条件”和“必要条件”定义的处理上，旧教材对定义作了较为详尽但也枯燥、难懂的解释，而新教材的定义显得更为简洁精炼，同时新教材的例题、练习题、习题数量大增，是旧教材的两倍左右。显然，新教材的编写者在处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学理念，但一次性给出定义，也存在一定的不足，学生在判断条件与结论的逻辑关系之前，还必须先分清何者是条件，何者是结论，这增加了学生理解上的困难。

（3）充分、必要性的思想贯穿于数学命题，数学定理。

公理等的始终，同时，这种思维在日常生活中对分析问题和解决问题是大有裨益的。

2. 重、难点分析

（1）重点分析

对于学习充分、必要、充要条件其主要目的就是用于判别命题的条件与结论之间的逻辑关系，故充分、必要、充要条件的判定当之成为本节重点。

（2）难点分析

根据教学实践，学生在学习本节内容时有以下学习障碍：

对“充分条件”中的“充分”二字理解不到位。

对“必要条件”有两个疑问，其一：若“pq”，那么q是p的结论，怎么又变成了p的必要条件呢？其二：“必要”二字难以理解。

3. 注意的问题

（1）对本节的教学，不可拔高追求一次到位，而在今后的教学中滚动式逐步深化。

（2）从具体的、简单的例子由浅入深，突破难点，抓住重点，讲练结合。

三、学情分析

用于本节内容与旧教材相比较，教学时间的前置，造成学生在学习本节知识时知识的储备不够丰富，逻辑思维能力训练不够，这也为教师的教学带来一定的困难，故在初学时，将本节内容的学习要求规定为“初步掌握”这是比较符合教学实际的。在教学时不可盲目地拔高和追求一次到位，而在今后的学习中不滚动式、螺旋式逐步深化。

四、教学方法及教学准备

1. 学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系，充要条件中的p、q与四种命题中的p、q要求是一样的，它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若a则b”形式的复合命题。

2. 由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键，教学中应始终注意以学生为主，让学生在自我思考，相互交流中去给概念、“下定义”，去体会概念的本质属性。

3. 教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没作过多的解释说明，为了能让学生能理解定义的合理性，在教学过程中教师可以具体的、简单的命题的条件与结论之间的关系来讲解“充分条件”的概念，从互为逆

否命题的等价性来了解“必要条件”的概念。

4. 教学用具：多媒体

五、教学活动程序

（一）复习回顾

问题一：

原命题：若x=3，则x2=9，写出它的其余三种命题形式（学生口答，教师板书）。

逆命题：若x2=9，则x=3 否命题：若x≠3，则x2≠9 逆否命题：若x2≠9则x≠3 问题二：回忆四种命题的相互关系及真假关系（学生回忆、讨论、思考后教师给出总结，用幻灯片展示）。

（二）讲授新课

1. 逻辑推断符号“”的含义：

（教师板书）：将命题：如果p成立，那么q一定成立，记作pq或qp；如果p成立推不出q成立，记作p q或q p；为了记忆的方便，将箭头指向的一端作为后件，另一端作为前件。

（补充说明：这也是逻辑学上的语言）

2. 充分条件

教师：看例子x=3x2=9，它的意思是说，条件x=3能充分保证结论x2=9成立，换句话说：有条件x=3时，就有充分的理由判定结论x2=9成立，于是就说x=3这个条件是x2=9的充分条件，据此，能否得来充分条件的定义呢？（学生看书，教师板书）

充分条件：如果pq，那么就说p是q的充分条件。

（其中p叫做前件，q叫后件，pq成立，则前件叫做后件的充要条件）

（教师）那如何根据充分条件的定义来判定p是否是q的充分条件呢？

（在学生经过反复抓定义本质属性后，与学生一起归纳）

（用以幻灯片显示）：

充分条件的判定方法（定义法）

问p是否是q的充分条件的判定步骤

第一步：将p作为前件，q作为后件

第二步：判定pq是否成立

第三步：作结论

巩固练习（I）（用幻灯片展示）

判定下列各命题中p是否是q的充分条件：

第一组：

. p：x=2；q：x2－3x＋2=0

(是) . p：x2－3x＋2=0；q：x=2

(不是) 第二组：

. p：两三角形全等；q：两三角形面积相等

（是）

. p：两三角形面积相等；q：两三角形全等

（不是）

第三组：

. p：小明是中学生；q：小明是学生

（是）

. p：小明是学生；q：小明是中学生

（不是）

3. 必要条件

教师：写出x=3x2=9的逆否命题：x2≠9x≠3，追问：它表示什么意思呢？（作一定时间的停顿，让学生思考）

教师解释：条件x2=9不成立，保证x≠3成立，进一步说：要想使x=3成立，必须要条件x2=9成立，也就是说：要想使x=3成立，则条件x2=9是必不可少的，所以x2=9是x=3成立的必要条件，在此基础上自然引入必要条件的定义。

（板书）一般地，如果pq成立，那么就说q是p的必要条件。（简言之：pq成立，则后件q是前件p的必要条件）

（教师）类比充分条件的制定方法，给出必要条件的判定方法。

（用幻灯片展示）：必要条件的判定方法

问q是否是p的必要条件的判定步骤

第一步：将p作为前件，q作为后件

第二步：判定命题pq是否成立

第三步：作结论

巩固练习II：（用幻灯片展示）

判定下列各命题中q是否是p的必要条件

第一组：

1. p：x=2；q：x2－3x＋2=0

（是）

2. p：x2－3x＋2=0；q：x=2

（不是）

第二组：

1. p：两三角形全等；q：两三角形面积相等

（是）

2. p：两三角形面积相等；q：两三角形全等

（不是）

第三组：

1. p：小明是中学生；q：小明是学生

（是）

2. p：小明明学生；q：小明是中学生

（不是）

4. 充分要条件

教师直接给出充要条件定义

一般地，如果既有pq，又有qp，记为pq，那么p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件简称充要条件。

注：p与q是互为充要条件的。

教师引导学生归纳出充要条件的判定方法（用幻灯片展示）

充要条件的判定方法

第一步：将p作为前件，q作为后件。

第二步：判定命题pq，且qp是否同时成立。

第三步：作结论。

简言之，看前后件是否能互推。

5. 进一步分类

教师：判断下列p、q的逻辑关系（幻灯片）

. p：x是6的倍数，q：x是2的倍数

（pq，q

p，p是q的充分不必要条件）

. p：x是2的倍数，q：x是6的倍数

（p

q，qp，p是q的必要非充分条件）

. p：x既是2的倍数，又是3的倍数，q：x是6的倍数

（pq，且qq，p是q的充要条件）

. p：x是4的倍数，q：x是6的倍数

（p

q，q

p，p是q的既不充分也不必要条件）

于是将条件进一步分类（幻灯片演示）

充分不必要条件（pq，q

p，则p是q的充分不必要条件）

必要非充分条件（p

q，qp，则p是q的必要非充分条件）

充要条件（pq，qp，则p、q互为充要条件）

既不充分又不必要条件（p

q，q

p，则p是q的既不充分也不必要条件）

巩固练习III（幻灯片展示）

判断下列命题中p是q的什么条件

（1）p：a是无理数，q：a＋5是无理数（充要条件）

（2）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c（充要条件）

（3）p：x=3，q：x2=9（充分不必要条件）

（4）p：(x－2)(x－3)=0，q：x－2=0（必要不充分条件）

（5）p：x=x2，q：2x＋3=x2(既不充分也不必要) 让学生思考讨论后给出答案，对第（5）作解答：

p：x=x2

x（－x）=0得x=3，q：2x＋3=x2得x=－1或x=3，则p

q，且q

p，故p是q的既不充分也不必要条件。

6. 梳理知识，归纳小结（幻灯片显示）

“条件”定义

“条件”分类

大分类：充分条件，必要条件，充要条件

小分类：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件。

各类“条件”的判定方法

pq与qp成立情况

7. 作业布置

（1）课堂作业：教材1.8

1-3 （2）课外作业：探讨下列生活中名言名句的充要关系

水滴石穿；

骄兵必败；

有志者事竟成；

头发长，见识短；

名

师出高徒；

放下屠刀，立地成佛；

蜡炬成灰泪始干；

玉不琢，不成器；

兔子尾巴长不了；

不到长城非好汉。

（3）思考题：判断p是q的什么条件？

P：A=｛x丨－3＜x＜7｝；q：B=｛x丨0＜x＜5｝

六、关于教学设计的思考

1. 本节课重难点是判断命题的充分条件，必要条件，充要条件的方法，所以这节课效果的好坏，体现在对这两点实现的程度上，因此，作业应用绕这两方面设计。

2.

充分条件、必要条件、充要条件是高中数学中几个重要的数学概念，它们之间有紧密的联系，如分开讲则不利于学生掌握，分析教材，联系实际，将本节内容安排了两个课时，第一课时讲清定义及简单的判断方法，第二节课加强这几个“条件”的应用，提高逻辑思维能力，本教案为第一课时。

3. 本节概念课理论较强，一般学生感到枯燥无味，因此，激发兴趣是关键，不断启发是手段，从而使学生为主体，教师为主导，师生互动达到教学目的。