习题3.2教学设计实例

课题：

3.2.3立体几何中的向量方法——空间角的问题

课型：

新授课

教

学

目

标

1.知识与技能

掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题。

2.过程与方法

通过分析、推导让学生掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题。

3.情感、态度与价值观

通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量，会用空间想像思维解决生活中实际问题。

教学重点

掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题

教学难点

掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题

教学方法

通过观察.类比.思考.交流和讨论等. 教学过程：

批

注

活动一：创设情景、引入课题

（5分钟）

问题1：在空间中，用空间向量解决立体几何的步骤？

问题2：空间中的距离有多少种？用空间向量如何解决？

今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量来表示并进行解决一些角度的应用． 点题：今天我们学习“用空间向量方法求角度问题” 活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）

问题3：回忆立体几何中有那些空间角？求空间角有那些步骤？ 1 异面直线所成的角

范围 0°＜θ≤90°方法 ①平移法；②补形法

2 直线与平面所成的角

范围 0°≤θ≤90°方法 关键是作垂线，找射影

3 二面角方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法

4、空间角的计算步骤 一作、二证、三算

问题4：设aa1,a2,a3，bb1,b2,b3

则（1）ab_____ ab（2）cosa,b= ______ ab

新课：三种空间角的向量法计算公式：

⑴线线角：异面直线a,b所成的角：coscosa,b；

⑵线面角：直线a与平面(法向量n)所成的角：sincosa,n；

⑶二面角：锐二面角：coscosm,n，其中m,n为两个面的法向量。

活动三：合作学习、探究新知（18分钟）

利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。

1

一、异面线所成角：

例1、如图所示的正方体中，已知

与

为四等分点，求异面直线

与

的夹角的余弦值？

方法小结：

//1、异面直线a、b所成的角：在空间中任取一点O，过点O分别引a∥a，b∥b，则a，b所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。两条异面直线所成//角的范围：(0,2]。

2、求法：①传统法：把两条异面直线中的一条放入一个平面，另一条与这个平面有交点，过这个交点在平面内作第一条的平行线，则这两条直线所成的角为两条异面直线所成的角。然后解三角形得到。

②向量法：在直线a上取两点A、B，在直线b上取两点C、D，若直线a与b的夹角为，则cos|cosAB,CD|。

3、利用向量求异面直线所成的角的步骤为：

（1）

确定空间两条直线的方向向量；

（2）

求两个向量夹角的余弦值；

（3）

确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角。

2

练习：

中，

，现将

沿着平面 的法向量平移到

的位置，已知BC=CA=C

,取

、

的中点

、

，求B

与A

所成的角的余弦值。

二、直线与平面所成的角：

例2：如图，在正方体ABCD-

中，求

与平面

所成的角。

3

方法小结：

1、直线a与平面所成角：斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影所成的锐角。直线与平面所成角的范围为：[0,2]。

2、求法：①求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用三棱锥体积等量来求出斜线上一点到平面的距离。

②运用向量：设n是平面的法向量，A、B是直线m上的点，如果直线m与平面所成的角为，则sin|cosAB,n|。

3、利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：

（1）

确定直线的方向向量和平面的法向量；

（2）

求两个向量夹角的余弦值；

（3）

确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去

。

练习：在长方体ABCD-

中，

,

M为

上的一点，且

,点N在线段

上，

,求 与平面ANM所成的角的正弦值。

4

三、二面角：

例3、已知正方体ABCD-

的边长为2，O为AC和BD的交点，M为

的中点。

1）

求证：直线

面 ; 2）

求二面角

的余弦值。

方法小结：

1、传统方法：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

二面角的平面角必须满足：

1)

角的顶点在棱上；

2)

角的两边分别在两个面内；

3)

角的边都要垂直于二面角的棱。

范围：

，

2、向量法：

设向量

n1,n2为二面角两个面的法向量，则有



结论：coscosn1,n2

关键：观察二面角的范围

3、利用法向量求二面角的步骤

（1）确定两个平面的法向量

（2）求两个法向量夹角的余弦值

（3）确定二面角的范围；二面角的范围要通过图形观察，法向量一般不能体现。

5

练习：

如图，已知：直角梯形OABC中，OA//BC,

,

面 ,且OS=OC=BC=1,OA=2.求：

(1)OS与面SAB所成角的余弦值；

(2)二面角B-AS-O的余弦值。

活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）

1.

异面直线所成角：

2.

直线与平面所成的角：

3.

二面角：

活动五：作业布置、提高巩固

1．

书面作业：P111 A组：1、5、6、7 板书设计： 用向量方法研究立体几何一角度

1、空间中角度种类 例1： 例2： 2、用向量方法解决空间角度的步骤？

教学后记：

6