小结第一课时教学设计

【导数及其应用】专题复习

一、导数的概念：

1、若函数yf(x)在区间(a,b)内可导，且x0(a,b)则limh0f(x0h)f(x0h)

的值为（ ）

2hA．f'(x0) B．2f'(x0) C．2f'(x0) D．0

2、若f'(x0)3，则limh0f(x0h)f(x03h) h二、导数的计算：

（一）基本初等函数的求导公式：

基本函数

导数

基本函数

导数

f(x)c

f(x)logax(a0,a1)

f(x)lnx

f(x)sinx

f(x)x

f(x)ax(a0,a1)

f(x)ex

f(x)cosx

（二）导数的四则运算法则：

（1）两个函数的和（或差）的导数：f(x)g(x)

（2）两个函数的积的导数：f(x)g(x)

cg(x)

''''f(x)

（3）两个函数的商的导数：g(x)

（三）复合函数的导数：yf(u),ug(x)，则复合函数yf[g(x)]的导数为：yx'yu'.ux'

1、求导：（1）yxlog2x （2）x3n2x1e3x （3）y

x

2、fxx3xf2，则f2 2

三、导数的应用

（一）导数的几何意义（切线问题）

对于函数yf(x)在x=x0处的导数就是曲线yf(x)在x0处的

切线问题三关键点：（1）

（2）

（3）

1、函数的f(x)图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( )

A.0＜f(2)＜f(3)＜f(3)-f(2) C.0＜f(3)＜f(2)＜f(3)-f(2) B.0＜f(3)＜f(3)-f(2) ＜f(2)D.0＜f(3)-f(2)＜f(2)＜f(3)

2、求过点A(1，1)且与曲线S：y＝2x－x3相切的直线方程为

3、设函数f(x)axb，曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x4y120. x（1）求f(x)的解析式

（2）证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x0和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

（二）函数的单调性与导数：

已知函数yxf(x)的图象如图所示（其中

f(x)是函数f(x)的导函数），下面四个图象中yf(x)的图象大致是 ( )



求函数的单调性

1、求f(x)2x36x27的单调区间 2、已知fxlnxax，讨论yfx的单调性



已知函数的单调性求参数取值范围

321、

已知函数fxxaxx1，若函数fx在R上单调递增，则a的取值范围 . 若函数fx在R上单调，则a的取值范围 . 2、已知函数fxm3xx2xmR，函数fx在区间2,内存在单调递增区间，3则m的取值范围 .

求解参数范围的方法：（单调性→恒成立（有解）→最值）

方法1：直接利用单调性求最值；

（三）函数的极值与导数：

函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 个，极大值 个.

方法2：运用分离参数法，如参数可分离，则分离参数→构造函数g(x)（可将有意义的端点改为闭）→求g(x)的最值→得参数的范围。

yyf(x)

求函数的极值

abO

x1、求yxlnx的极值

2

2、设a0,且a1，函数fx

12xa1xalnx.求fx的极值点

2

已知函数的极值求参数（或取值范围）

1、若函数fxx3ax2bxa2,在x1时有极值10，则a、b的值为 2、若函数fxx3bx3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围为 33、若函数fxx3ax3(a2)x1没有极值，则a的取值范围为 32

（四）函数的最值：



求函数的最值

已知f(x)xlnx,g(x)13xxa．（1）当a2时，求函数yg(x)在[0,3]上的值域； 3（2）求函数f(x)在[t,t2](t0)上的最小值。



已知函数的最值求参数

已知函数f(x)lnx上的最小值为a，（1）当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；（2）若f(x)在[1,e]x3，求a的值．

2

（五）不等式证明与大小比较：

思路点拨：主要解决方法是先构造函数，然后利用导数法确定函数的单调性，进而达到解决问题的目的。

1、

已知

x(0,)2，求证：sinxxtanx。

2、设函数f(x)xaxblnx，曲线y=f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2. （I）求a，b的值；（II）证明：f(x)2x2．

2（六）方程的解（零点）个数问题 （数形结合思想）

思路点拨：三个等价关系：方程的解函数零点函数图象交点。

31、已知函数f(x)x3ax1,a0，若f(x)在x1处取得极值，且方程f(x)m有三个不同的解，求m的取值范围。

2、已知函数fxx33ax23bx的图象与直线12xy10相切于点1,11．

（1）求a,b的值；（2）若函数gxfxc有三个不同的零点，求c的取值范围．

（七）构造计算类题型：

1、函数fx的定义域为R，f12，对任意xR,fx2，则fx2x4的解集为 .

2、

设fx、gx分别是定义在R(x0)上的奇函数和偶函数,当x0时,f(x)g(x)f(x)g(x)＞0.且g30.则不等式fxgx0的解集是

3、f(x)是定义在(0,)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0,对任意正数a,b,若ab，则必有（ ）

A.af(b)bf(a) B.bfaafb C.af(a)bf(b) D.bfbafa

变式：若xf(x)f(x)0，其它条件不变，则必有（ ）

4、已知f(x)f(x)0对xR恒成立，则下列式子一定正确的是（ ）

A.f(2014)f(0)e2014,f(2014)e2014f(0)

B.f(2014)f(0)e2014,f(2014)e2014f(0)

C.f(2014)f(0)e2014,f(2014)e2014f(0) D.不确定

（八）生活中的优化问题：

1、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

2、某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x（单位：元, 0x21）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件. （1）将一星期的商品销售利润表示成x的函数；

（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大。

（九）定积分：

1、

定义

2、微积分基本定理

一般地，如果f(x)是区间a,b上的 函数，并且 ，那么

b

f(x)dx

a3、求定积分

3

（1）329xdx21

（2）12xdx

1cosxdx(x)dxx（3）1 （4）0

4、利用定积分求解面积问题

（1）试求曲线yx24与x轴所围成的图形的面积；

2（2）试求曲线yx2x3与yx3所围成的图形的面积；

2

1yx,y2x,yx（3）试由曲线3所围成的图形的面积。