3.1.3 空间向量的数量积运算教学内容概述

3.1.3空间向量的数量积运算

潮安区凤塘中学 陈文珍

一、教材内容分析

本节在学生已学***面向量的数量积及其性质的基础上，扩展到空间向量的数量积的概念、计算方法和运算律等，这些都与平面向量相同。通过布置课前预习，学生可熟练地类比得出空间向量的相应内容。并通过例题、练习题让学生体会用向量解决立体几何中一些相关问题的基本方法及步骤,通过不同解法的比较，让学生体会直线的方向向量的恰当选取，可更高效的解决问题。

二、学情分析

学生的基础相对比较薄弱，所以在引导学生分析上需要进一步细化问题，使其能有效地分析、解答。

三、教学目标

1.知识与技能

（1）掌握空间向量夹角的概念及表示方法；

（2）掌握两个空间向量数量积的概念、性质及运算律；

（3）掌握两个空间向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

2.过程与方法

（1）比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；

（2）探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观

（1）通过师生的合作交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；

（2）通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。

四、教学重点、难点

1.重点：两个空间向量的数量积的计算方法及其应用。

2.难点：如何将立体几何问题转化为向量的计算问题。

五、教学过程

1.复习导入

（1）复习：通过2个问题，回顾前两节中涉及的与本节主要相关的内容。

问题1.什么是直线的方向向量？

问题2.空间中任意两个向量的位置关系是怎样的？

（2）导入：由于空间中任意两个向量共面，所以两个平面向量的运算都可以直接拓展应用到两个空间向量中来。

[设计意图]通过复习两个空间向量的位置关系自然引入两个空间向量的数量积运算，通过复习直线的方向向量给本节的向量的数量积应用奠定良好的基础。

2.空间向量的数量积

（1）让学生自己阅读，并提取课本的主干信息

①怎样作出两个空间向量的夹角？

两个空间非零向量夹角的概念：

已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a, b＞．

②两个空间向量的数量积如何计算？

空间两个向量的数量积的概念：

已知两个非零向量a与b，则|a||b|cos＜a,b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即

a·b＝|a||b|cos＜a, b＞. ③空间向量的数量积有哪些运算律？

空间向量的数量积的运算律：

⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a

·(λb) (数乘结合律) ⑵a·b＝b·a (交换律) ⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c

(分配律) 222222(ab)a2abb; (ab)a2abb

注意：

⑴(a·b)c≠a（b·c）

⑵a·b=a·c(3)a·b=b=c

a=

b[设计意图]通过阅读，提高学生的自主学习能力及阅读理解能力，从中体会类比的思想方法。

3.空间向量的数量积的性质

(1)a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aa=a2(求长度的依据) a（2）⊥ba·b＝0（判断垂直的依据）

ab（3）cos＜a, b＞＝（求夹角的依据）

ab

[设计意图]让学生通过类比得出空间向量的数量积的性质，加深对性质导出的方法的理解。

4.例题剖析

例.如图1，m,n是平面内的两条相交直线.如果lm,ln,求证：l.

图1

小结：利用向量解决几何问题的一般方法：

（1）把求解的结果和已知条件转化为向量表示. （2）用已知向量表示未知向量. （3）通过向量运算去计算或证明，从而解决问题.

[设计意图]通过引导、讨论，使学生能理解掌握用向量解决几何问题的一般思路。

5.习题演练

（1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（如图2）

[设计意图]引导学生分析应用向量的数量积性质证明垂直关系的基本思路，组织学生讨论，使他们通过合作探究能证明或判断一些简单的垂直关系，并能掌握一些相对简便的解题方法。

（2）如图3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1,则AB1与C1B所成角的大小是（

）

（A）60 (B)90 (C)105 (D)75

图2

图3

[设计意图]引导学生分析应用向量的数量积性质求角度的基本思路，使其能解答一些简单的角度问题，通过讨论比较，能得出怎样确定向量、怎样分解步骤可更有效地解决相关问题。

6.课堂小结

空间向量的夹角→空间向量的数量积→空间向量的数量积的性质→空间向量的数量积的应用

[设计意图]

通过小结，使学生对本节所学的主要内容的框架能更加清晰地掌握，从而对所学内容形成一个较为系统的知识体系。

7.作业

课本P98习题3.1 A组 3 ，5 [设计意图]通过课后作业，让学生能及时复习巩固相关的知识，尽快落实相应的学习目标。