1.2.1 充要条件第一课时教学实录

第2课时

充要条件

巴东一中

樊仕松

预学1:一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q, 并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件. 想一想：根据上述问题情境，结合充分条件、必要条件的定义，我们用“充分”或“必要”填空

（1）“图像关于原点对称”是“该图像是函数yxcosxsinx的图像”的 条件

/（2）“选项D中的图像是函数yxcosxsinx的图像”是“f()0”的 条件

2【答案】（1）必要（2）充分

预学2:p与q的推出情况和p与q的充分、必要性之间的关系

(1)若p⇒q且q /p,则p是q的充分不必要条件;

(2)若p/q且q⇒p,则p是q的必要不充分条件;

(3)若p⇒q且q⇒p,则p是q的充要条件;

(4)若p/q且q/p,则p是q的既不充分也不必要条件.

议一议:若p是q的充分条件,p是唯一的吗?

【解析】不一定唯一,凡是能使q成立的条件都是它的充分条件,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.

预学3:从集合的角度理解充分条件、必要条件和充要条件

建立与p,q相应的集合,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)}.

想一想:设集合A,B,则A ⊆

B是A ∩B=A成立的__________条件.

【解析】由A⊆B,得A∩B=A;反过来,由A∩B=A,且(A∩B)⊆B,得A⊆B.因此,A⊆B是A∩B=A成立的充要条件.

【答案】充要

预学4:p与q的充分、必要性和¬ p与¬ q的充分、必要性之间的联系

若p是q的充分不必要条件,则¬ q是¬ p的充分不必要条件;

若p是q的必要不充分条件,则¬ q是¬ p的必要不充分条件;

若p是q的充要条件,则¬ q是¬ p的充要条件;

若p是q的既不充分也不必要条件,则¬ q是¬ p的既不充分也不必要条件.

议一议:“若¬ p,则¬ q”为真命题,则p是q的什么条件?

【解析】“若¬ p,则¬ q”为真命题,则其逆否命题“若q,则p”也为真命题,即q⇒p,故p是q的必要条件.

1.充分条件、必要条件与充要条件的判断

例1(1)若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的(

).

A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.无法判断

【解析】(1)因为a=1⇒|a|=1,但反过来不一定成立,故选A.

(2)判断下列各题中,p是否为q的充要条件?

222①若a,b∈R,p:a+b=0,q:a=b=0. ②p:|x|>3,q:x>9.

2222【解析】①若a+b=0,则a=b=0,即p⇒q;若a=b=0,则a+b=0,即q⇒p,故p⇔q,所以p是q的充要条件.

2②由于p:|x|>3⇔q:x>9,所以p是q的充要条件. 变式训练1、判断下列各题中p是q的什么条件：

（1）p:ab,q:abp：

（2）p:ab,q:2a2b1

（3）p:ABC中,A60，q:sinA3

2/q, q⇒p, 所以p是q的必要不充分条件

【解析】（1）因为p/p,所以p是q的充分不必要条件

（2）因为p⇒q且q /q, q⇒p, 所以p是q的必要不充分条件

（3）因为p

2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围

22例2、已知p:A＝{x∈R|x+ax+1≤0},q:B＝{x∈R|x-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

/ p”求得a的取值范围.解决这类参数的取值范围问题,【方法指导】先写出p,q,由“p⇒q,但q 可运用集合法求解,即先化简集合A,B,再由它们的因果关系,得到A与B的包含关系,进而得到相关不等式组,解之即可.

3.充要条件的探求与证明

22例3、已知方程x+(2k－1)x+k=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.

【方法指导】

思路一:将两个实根都减去1,把已知中的两个大于1的实数根转化为两个都大于0的实数根,即转化为两个数的和大于0同时积也大于0,利用根与系数的关系转化为k的不等式,求出k的范围.思路二:构造相应的函数,结合函数的图象从对称轴与区间的关系、区间两个端点的函数值的符号、判别式三个方面加以限制,写出充要条件.

1.充分条件、必要条件的判断

(1)确定谁是条件,谁是结论;

(2)尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件;

(3)尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.

2.p是q的充分不必要条件,利用真子集的关系求解,易错的地方是解不等式组.

(2015年重庆卷)“x=1”是“x-2x+1=0”的(

).

A.充要条件

B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

22【解析】因为方程x-2x+1=0的解为x=1,所以“x=1”是“x-2x+1=0”的充要条件. 【答案】A

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