3.1.2 导数的概念教案教学设计导入设计

第三章

导数及其应用

3．1 变化率与导数

学习目标

1.了解函数平均变化率的概念．

2．掌握求函数平均变化率的一般步骤.．

3．掌握求函数在某处的导数．

教学重点：让学生理解瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵，理解导数的几何意义。

教学难点：掌握求函数在某处的导数

阅读P72-P75页，探究以下问题: (1)平均变化率的定义是什么？怎么求平均变化率？

(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？

(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？

问题一、

气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 问题二、

高台跳水: 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 知识梳理：

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

Δyf（x2）－f（x1）(1)定义式：＝．

Δxx2－x1(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．

(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

定义式

lim

Δx→0Δyf（x0＋Δx）－f（x0）＝lim

ΔxΔx→0Δx

实质

作用

3.导数的概念

定义式

记法

实质

知识点的理解: 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值

刻画函数在某一点处变化的快慢

lim

Δx→0Δyf（x0＋Δx）－f（x0）＝lim

ΔxΔx→0Δxf′(x0)或y′|x＝x0

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

1．对平均变化率的三点说明

(1)函数f(x)在x1处有定义．

(2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．

(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．

2．对瞬时速度的理解

(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率．

Δs(2)当Δt在变化中趋近于0时，比值趋近于一个确定的常数，这时此常数称Δt为t0时刻的瞬时速度．

(3)平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢．

3．对导数概念的理解

ΔyΔy(1)当Δx≠0时，比值的极限存在，则f(x)在点x0处可导；若的极限不ΔxΔx存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．

(2)在点x＝x0处的导数的定义可变形为

f′(x0)＝limΔx→0

f（x0－Δx）－f（x0）f（x）－f（x0）或f′(x0)＝lim. x→x0－Δxx－x0

题型一、求平均变化率

【例1】（1）求yx2在x0到x0x之间的平均变化率．

(2)已知某质点按规律s2t22t（s：单位为m，t单位为s）做直线运动，求：①该质点在前3s内的平均速度；

②该质点在前2s到3s内的平均速度．

解：（1）当自变量从x0变到x0x时，函数的平均变化率为

2f(x0x)f(x0)(x0x)2x02x0x．

xx当x取定值，x0取不同数值时，该函数的平均变化率也

不一样，可以由图看出变化．

(2) ①由题意知t3，

ss(3)s(0)23223(20220)24，

所以平均速度为s248(m/s).

t3②由题意知t321，

ss(3)s(2)23223(22222)12，

所以平均速度为变式训练1 1.已知函数，分别计算在自变量从1变化到2和从3变化到5时s1212(m/s).

t1的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化的较快．

答案：

题型二、求函数在某点处的导数

例2. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度. ，；

(1) 解：Δyf(1Δx)f(1)3(1Δx)236Δx3(Δx)2

例3：设f(x)在x=x0附近有定义，Δy6Δx3(Δx)2ΔxΔxf'(1)limx063ΔxΔylim(63Δx)6x0Δx

f(x02h)f(x0)'且lim1,求f(x0)的值。h0h答案:f'(x0)12

方法归纳：

1、求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤

简称：一差，二比，三极限．

2、求运动物体瞬时速度的三个步骤

(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．

(2)求平均速度v＝Δs. ΔtΔs(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．

Δt变式训练2 f(1x)f(1)1f(1)3lim . 1.设函数f(x)可导,则x03x2.设函数f(x)可导,且满足条件

x0limf(1)f(1x)1,求2xf(1)

答案：f(1)2课堂小结

1.函数的平均变化率

2.利用导数定义求导数三步曲：

(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

Δyf(2)求平均变化率＝Δxx0＋Δx－fx0；

ΔxΔy(3)取极限，得导数f′(x0)＝lim

ΔxΔx→0简记为一差，二比，三趋近．

特别提醒

①取极限前，要注意化简分母不为0. ②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．

③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．

Δy，保证使Δx→0时

Δx