3.2.2 直线的两点式方程教学评价实录

3.2.2 直线的两点式方程

学习目标

1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．

知识点一

直线方程的两点式

思考1 已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，求通过这两点的直线方程．

答案

y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)，

即y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？

答案

不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．

梳理

名称

已知条件

示意图

方程

使用范围

两点式

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2

y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 斜率存在且不为0

知识点二

直线方程的截距式

思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x5＋y7＝1表示吗？

答案

能．由直线方程的两点式得y－07－0＝x－50－5，

即x5＋y7＝1. 思考2 已知两点P1(a,0)，P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求通过这两点的直线方程．

答案

由直线方程的两点式，得y－0b－0＝x－a0－a，

即xa＋yb＝1. 梳理

名称

已知条件

示意图

方程

使用范围

截距式

在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0

xa＋yb＝1 斜率存在且不为0，不过原点

知识点三

线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22. 类型一

直线的两点式方程

例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，

(1)求BC边的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程．

解

(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，

由两点式，得y－－－2－－＝x－50－5，即2x＋5y＋10＝0，

故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．

(2)设BC的中点M(a，b)，

则a＝5＋02＝52，b＝－4＋－＝－3，所以M(52，－3)，

又BC边的中线过点A(－3,2)，

所以y－2－3－2＝x－－－－，即10x＋11y＋8＝0，

所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 引申探究

若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程．

解

kBC＝－4－－－0＝－25，

则BC的垂直平分线的斜率为52，

又BC的中点坐标为(52，－3)，

由点斜式方程可得y＋3＝52(x－52)，

即10x－4y－37＝0. 反思与感悟

(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．

(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标．

跟踪训练1 若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________. 答案

－2 解析

由直线方程的两点式得y－－－－＝x－2－3－2，

即y＋15＝x－2－5. ∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，

∵点P(3，m)在直线AB上，

∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2. 类型二

直线的截距式方程

命题角度1 与三角形有关的直线方程

例2 过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是(

) A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0 C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0 答案

A 解析

设所求的直线方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，

由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有1a＋3b＝1，12ab＝6，解得a＝2，b＝6，

故所求直线的方程为3x＋y－6＝0，故选A. 反思与感悟

求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为xa＋yb＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值．

跟踪训练2 直线l过点P(43，2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为12，求直线l的方程．

解

设直线l的方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，

由题意知，a＋b＋a2＋b2＝12. 又因为直线l过点P(43，2)，所以43a＋2b＝1，

即5a2－32a＋48＝0，解得a1＝4，b1＝3，a2＝125，b2＝92，

所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0 或15x＋8y－36＝0.

命题角度2 判断直线的条数

例3 过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(

) A．2条 B．3条 C．4条 D．无数多条

答案

B 解析

当截距都为零时满足题意要求，直线为y＝－13x，

当截距不为零时，设直线方程为xa＋yb＝1，

∴3a＋－1b＝1，|a|＝|b|，∴a＝2，b＝2或a＝4，b＝－4，

即直线方程为x2＋y2＝1或x4＋y－4＝1，

∴满足条件的直线共有3条．故选B. 反思与感悟

如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．

跟踪训练3 过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有(

) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数多条

答案

B 解析

设直线的两截距都是a，则有

①当a＝0时，直线设为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝32，

∴直线l的方程为3x－2y＝0；

②当a≠0时，直线设为xa＋ya＝1，即x＋y＝a，

把P(2,3)代入得a＝5，

∴直线l的方程为x＋y＝5. ∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 类型三

直线方程的应用

例4 设直线l的方程为y＝(－a－1)x＋a－2. (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

解

(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，

∴a－2＝0，∴a＝2，此时直线方程为3x＋y＝0；

当直线不过原点时，a≠2，由a－2a＋1＝a－2，得a＝0，

直线方程为x＋y＋2＝0. 故所求的直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)由l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，

当且仅当－＋，a－2≤0，解得a≤－1. 故所求的a的取值范围为(－∞，－1]．

反思与感悟

(1)由直线方程求出直线在两坐标轴上的截距应先分类讨论，再列方程求解．

(2)根据斜率和截距的取值列式求解．

跟踪训练4 已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程．

解

直线AB的斜率kAB＝－3－03－－＝－38，过点A(－5,0)，

∴直线AB的点斜式方程为y＝－38(x＋5)，

即所求的斜截式方程为y＝－38x－158. 同理，直线BC的方程为y－2＝－53x，即y＝－53x＋2. 直线AC的方程为y－2＝25x，即y＝25x＋2. ∴直线AB，BC，AC的斜截式方程分别为y＝－38x－158，y＝－53x＋2，y＝25x＋2.

1．直线x－2＋y－3＝1在x轴，y轴上的截距分别为(

) A．2,3 B．－2，－3 C．－2,3 D．2，－3 答案

B 2．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为(

) A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1 C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案

A 解析

代入两点式得直线方程y－14－1＝x＋21＋2，

整理得y＝x＋3. 3．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为(

) A．x＝2 B．y＝2 C．x＝3 D．x＝6 答案

B 解析

由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B. 4．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．

答案

2x－y＋1＝0 解析

AB的中点坐标为(1,3)，

由直线的两点式方程可得y－35－3＝x－12－1，

即2x－y＋1＝0. 5．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．

解

设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，

所以直线l的方程为xa＋y6－a＝1，

因为点(1,2)在直线l上，所以1a＋26－a＝1，

解得a1＝2，a2＝3，

当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，直线经过第一、二、四象限；

当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，直线经过第一、二、四象限．

综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0. 1．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．

2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．

课时作业

一、选择题

1．下列说法正确的是(

) A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示

B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示

C．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示

D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示

答案

D 解析

斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D. 2．若直线l的横截距与纵截距都是负数，则(

) A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限

B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限

C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限

D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限

答案

B 解析

依题意知，直线l的截距式方程为x－a＋y－b＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B. 3．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距是(

) A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b

答案

B 解析

令x＝0得，y＝－b2. 4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(

) A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0 答案

B 解析

因为kAB＝1－3－5－1＝13，

AB的中点坐标为(－2,2)，

所以所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，

化简为3x＋y＋4＝0. 5．过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是(

) A．x－y＋1＝0 B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0 C．x＋y－5＝0 D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0 答案

B 解析

设直线方程为xa＋y－a＝1或y＝kx，

将P(2,3)代入求出a＝－1或k＝32. 所以所求的直线方程为x－y＋1＝0或3x－2y＝0. 6．利用斜二测画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O′A′＝O′B′＝1，则直线AB在直角坐标系中的方程为(

) A．x＋y＝1 B．x－y＝1 C．x＋y2＝1 D．x－y2＝1 答案

D 解析

由斜二测画法可知在直角坐标系中，A(1,0)，B(0，－2)，由两点坐标可得直线方程为x－y2＝1. 7．两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(

)

答案

A 解析

两条直线化为截距式分别为xa＋y－b＝1，xb＋y－a＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．

二、填空题

8．已知直线xa＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为________．

答案

±2 解析

由xa＋y6＝1知S＝12|a|·|6|＝6，

所以a＝±2.

9．过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是______．

答案

x＋2y－1＝0或x＋3y＝0 解析

设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a＝0时，b＝0，此时直线l的方程为yx＝－13，所以x＋3y＝0；当a≠0时，a＝2b，此时直线l的方程为x2b＋yb＝1，代入(3，－1)得x＋2y－1＝0. 10．过(3,0)点且与x轴垂直的直线方程为________，纵截距为－2且与y轴垂直的直线方程为________．

答案

x＝3 y＝－2 11．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是__________________________________________________________．

答案

x2＋y6＝1 解析

设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，

即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)．

则l的方程为x2＋y6＝1. 三、解答题

12．求经过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．

解

设所求直线方程为xa＋yb＝1. ∵直线过点P(－5，－4)，

∴－5a＋－4b＝1，

①

于是得4a＋5b＝－ab，

又由已知，得12|a|·|b|＝5，即|ab|＝10.

②

由①②，得4a＋5b＝－ab，|ab|＝10，

解得a＝－52，b＝4或a＝5，b＝－2. 故所求直线方程为x－52＋y4＝1或x5＋y－2＝1. 即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0. 13．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：

(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．

解

(1)设C(x0，y0)，

则AC边的中点为Mx0＋52，y0－22，

BC边的中点为Nx0＋72，y0＋32，

因为M在y轴上，所以x0＋52＝0，得x0＝－5. 又因为N在x轴上，所以y0＋32＝0，

所以y0＝－3.即C(－5，－3)．

(2)由(1)可得M0，－52，N(1,0)，

所以直线MN的方程为x1＋y－52＝1，

即5x－2y－5＝0. 四、探究与拓展

14．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________．

答案

x＋y±6＝0，x－y±6＝0 解析

因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a，

则直线方程为xa＋ya＝1，即x＋y－a＝0. ∵12|a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，

∴直线方程为x＋y±6＝0. 若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a，则纵截距为－a，

故直线方程为xa＋y－a＝1，即x－y－a＝0. ∵12|－a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，

∴直线方程为x－y±6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0. 15．已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上的一点C，最后从C点反射回A点，求直线BC的方程．

解

作点A关于x轴的对称点A2，则A2(1，－2)．

设点A关于l：x－y＋3＝0的对称点为A1(x0，y0)，则

x0＋12－y0＋22＋3＝0，y0－2x0－1×1＝－1，

解得x0＝－1，y0＝4，

即A1点坐标为(－1,4)．

由已知条件知点A1，A2均在直线BC上，

∴由直线的两点式方程得y－4－2－4＝x＋11＋1，

即3x＋y－1＝0. 故直线BC的方程为3x＋y－1＝0.