1.2.3 空间几何体的直观图教学设计方案

第一章

1.2

1.2.3 基础巩固

一、选择题

1．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是(

) A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形

B．平行四边形的直观图仍是平行四边形

C．两条相交直线的直观图可能是平行直线

D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直

[答案]

B [解析]

选项

A

B

C

D

正误

理由

斜二测画法保持平行性不变，正方形的直观图是平行四边形，故选项A错误

平行四边形的对边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B正确

斜二测画法保持相交性不变，故两条相交直线的直观图仍是相交直线，故选项C错误

两条垂直直线的直观图应是夹角为45°的两条相交直线，故选项D错误

[点评]

斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比．

2．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是(

) ①角的水平放置的直观图一定是角．

②相等的角在直观图中仍相等．

③相等的线段在直观图中仍然相等．

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．

A．0

C．2

[答案]

C [解析]

由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．

3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(

) B．1 D．3

[答案]

A [解析]

由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A正确．

4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(

) A．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cm C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm [答案]

C [解析]

由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm. 5．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(

) B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm D．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm 的

[答案]

C h[解析]

C中前者画成斜二测直观图时，底AB不变，原来高h变为，后者画成斜二测21直观图时，高不变，边AB变为原来的. 26．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(

) 12A．＋

22C．1＋2

[答案]

D [解析]

如图所示，

B．1＋2

2D．2＋2

∵A′D′∥B′C′，

∴AD∥BC．

∵∠A′B′C′＝45°，

∴∠ABC＝90°. ∴AB⊥BC．

∴四边形ABCD是直角梯形．

其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋2，AB＝2，

∴S梯形ABCD＝2＋2. [规律总结]

(1)已知一个平面图形，求其直观图的面积．

解决此类问题的关键是利用斜二测画法画出直观图，然后利用面积公式求解．

(2)已知平面图形的直观图求原图形的面积．

解决此类问题时，应根据所给的直观图确定原图形中线与线间的关系、长度、夹角，从而具体研究原图形的面积．

由直观图还原为原图是画直观图的逆过程，有两个量发生了变化，一是∠x′O′y′由45°恢复为∠xOy＝90°，二是与O′y′平行的线段，在平面xOy中的长度是原来的2倍．

二、填空题

7．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为__________ ________，点M′的找法是__________ ________. [答案]

M′(4,2)

在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′. [解析]

在x′轴的正方向上取点M1，使O1M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.

8．如右图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是__________ ________. [答案]

10 [解析]

由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝AC2＋BC2＝10.

三、解答题

9．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．

[解析]

在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为1梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝OD，梯形2的高D′E′＝21232，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝. 424810．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．

[分析]

这个几何体是一个简单的组合体，可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥．

[画法]

(1)画轴．如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°. (2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB．选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．

(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm. (4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．

[方法提炼]

画旋转体直观图的关键是画图的直观图，即作两个圆的直观图，平行于z轴的线段的长度保持不变．

能力提升

一、选择题

1．利用斜二测画法得到：

①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．

以上说法正确的是(

) A．①

C．③④

[答案]

B [解析]

根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．

2．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(

) B．①②

D．①②③④

A．8 cm

C．2(1＋3)cm

[答案]

A [解析]

根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC为平行四边形，且有OB⊥OA，OB＝22，OA＝1，所以AB＝3.从而原图的周长为8. 3．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是乙图中的(

) B．6

cm D．2(1＋2)cm

[答案]

C [解析]

按斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平1行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′2＝45°，将图形还原成原图形知选C．

4．下图是水平放置的三角形的直观图，D为△ABC中BC的中点，则原图形中AB，AD，AC三条线段中(

)

A．最长的是AB，最短的是AC

B．最长的是AC，最短的是AB

C．最长的是AB，最短的是AD

D．最长的是AC，最短的是AD

[答案]

B [解析]

因为AB∥y轴，BC∥x轴，根据斜二侧画法规则，在原图中应有AB⊥BC，所以△ABC为B＝90°的直角三角形，所以在AB，AD，AC三条线段中AC最长，AB最短．

二、填空题

5．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是__________ ________. [答案]

16 [解析]

由图易知△AOB中，底边OB＝4，

又∵底边OB的高为8，

1∴面积S＝×4×8＝16. 2

6．如右图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二侧画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为__________ ________. [答案]

2

2

[解析]

因为OA＝6，CB＝2，所以OD＝2.又因为∠COD＝45°，所以CD＝2.梯形的直

观图如右图，则C′D′＝1.所以梯形的高C′E′＝三、解答题

2. 27．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

[分析]

由三视图画出空间几何体的直观图应先由三视图确定出空间几何体，再由斜二测画法画出其直观图．

[解析]

由几何体的三视图可知，这个几何体是一个圆台，画法：①画轴．画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.②画圆台的两底面，取底面⊙O和上底面⊙O′的长为俯视图中的大圆和小圆的直径，画出⊙O与⊙O′.③取OO′为正视图的高度．④成图．如图，整理得到三视图表示的几何体的直观图．

8．如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

[解析]

(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，

使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′

画出上底面A′B′C′D′. (3)画正四棱锥顶点，在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．

(4)成图．连接PA′、PB′、PC′、PD′、A′A，B′B、C′C、D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图②所示．