习题2.1课堂实录及点评

空间中直线与直线之间的位置关系

1．异面直线

(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．

(2)画法：(通常用平面衬托) 2．空间中两条直线的位置关系

3．平行公理(公理4)与等角定理

(1)平行公理：

①文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

这一性质叫做空间平行线的传递性．

a∥b⇒a∥c. ②符号表述：b∥c(2)等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

思考题

1．能否将异面直线理解为分别在两个平面内的直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线？

2．异面直线与平行直线有什么异同点？

3. 在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？

重点问题解析

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：

(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC；(3)A1C与D1B；(4)DC与BD1；(5)D1E与CF. [自主解答]

(1)∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD，

∴AB与CC1异面．

(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.

(3)∵A1D1∥BC且A1D1＝BC，则A1，B，C，D1在同一平面内，∴A1C与D1B相交．

(4)∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD，∴DC与BD1异面．

(5)设CF与DA的延长线交于G，连接D1G，

∵AF∥DC，F为AB中点，

∴A为DG的中点．

又AE∥DD1，

∴GD1过AA1的中点E，

∴直线D1E与CF相交．

1．判断两直线是异面直线的方法：

(1)定义法：依据定义判断两直线不可能在同一个平面内．

(2)定理法：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)．

(3)反证法：即假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而断定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线．

2．判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．

1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(

) A．a∥c

B．a和c异面

C．a和c相交

D．a和c平行、相交或异面

解析：如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，令A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，由题意，a和b是异面直线，b和c是异面直线．

若令B′C′所在直线为c，则a和c平行．

若令C′C所在直线为c，则a和c异面．

若令D′D所在直线为c，则a和c相交．

答案：D

考点二

公理4、等角定理的应用

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；

(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.

[自主解答]

(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，

∴MM1綊AA1，又∵AA1綊BB1，

∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM. 由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．

由等角定理得∠BMC＝∠B1M1C1. 法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形．

∴B1M1＝BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形．

∴C1M1＝CM，

又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1. ∴∠BMC＝∠B1M1C1.

在本例中，若N1是D1C1的中点，求证四边形M1N1CA是梯形．

证明：如图所示，连结A1C1，

∵M1，N1分别是A1D1，D1C1的中点，

1∴M1N1∥A1C1且M1N1＝A1C1，由正方体的性质可知：

2A1C1∥AC，且A1C1＝AC，

1∴M1N1∥AC，且M1N1＝AC，

2∴四边形M1N1CA是梯形．

1．判断两直线是平行直线的方法：

(1)定义法：两直线平行须满足：①两直线在同一个平面内；②两直线没有公共点．

(2)公理法(利用公理4)：要证两条直线平行，只须找到第三条直线与这两条直线都平行即可．即要证a∥b，只须证a∥c，b∥c，就可得a∥b. 2．在运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．

2．如图，四面体A－BCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB，AC，AD上的点，且满足AE∶AB＝AF∶AC＝AG∶AD. 求证：△EFG∽△BCD. 证明：在△ABD中，∵AE∶AB＝AG∶AD，

∴EG∥BD.同理GF∥DC，EF∥BC. 又∠GEF与∠DBC方向相同，

∴∠GEF＝∠DBC. 同理∠EGF＝∠BDC，

∴△EFG∽△BCD.