阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用名师教学设计1

抛物线的焦点弦性质探究—教学设计

武汉三中 尚峰

抛物线的焦点弦性质是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，抛物线的焦点弦性质是揭示了客观世界中量的相互依存又相互制约的关系，因而抛物线的焦点弦性质有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。

一、教学目标

1、知识与技能：能够利用方程思想从数的角度研究抛物线焦点弦的性质。

抓住几何特征从形的角度，数形结合，应用抛物线的定义解决抛物线的焦点弦问题。

2、过程与方法：发掘生活中数学，理解抛物线焦点弦的性质得到的过程与方法，体会数形结合的思想方法。

3、情感、态度、价值观：深入体会抛物线的焦点弦性质在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用

及其重要价值。培养学生数学抽象，逻辑推理，直观想象，数学运算的学科素养。

二、教学重点、难点：

重点：根据数和形两个角度解决抛物线的焦点弦问题。

难点：数形结合，在变化的过程中找到不变的关系。

三、学法与教法：

1、学法：学生尝试实践，合作交流，共同探索。

2、教法：教师启发引导与学生自主探究相结合

根据教材内容的特点与学生的实际情况，我确定本节课的教学方法是：观察、启发、探究相结合的模式组织教学。因为：“观察”遵循了从具体到抽象的认知规律，为抽象概括奠定了基础。利用几何画板的动态演示让学生在观察和实践中发现问题、解决问题，这样印象深，记得牢。而实行启发探究式教学的关键，在于激发学生思考问题、发现问题、解决问题的欲望，教师的责任就是创造条件，使学生成为学习的主人。具体操作设想：(1) 以“看”的方式来激发学生探索。 (2) 以“问”的方式来启发学生深思。 (3) 以“变”的方式来诱导学生灵活善变。(4) 以“梳”的方式来引导学生归纳总结。

四、教学过程：

一、情境导入，自主探究

1.情景引入:中国天眼视频

以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与下列教学活动。

2.回归课本，特例探路

课本P69例4：经过抛物线y4x的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,求线段AB的长。

2y24x

x26x10；yx1方法1：利用方程思想，结合根与系数的关系，弦长公式.（AB1k2x1x211y1y2）。

2k方法2：抓住几何特征，数形结合，应用抛物线的定义。

二、引领点拨，梳理建构

探究一：推广到一般性的命题呢？

经过抛物线y2px的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于A,B两点,求线段AB的长。(用k,p表示)

1 2

问题1：x1x2

y1y2

问题2:

AB=

（从数和形两个角度发现规律。）

探究二：

把上题中的斜率k换成直线的倾斜角θ？

问题3：

(1)两个焦半径的长度|FA|，|FB|与直线AB的倾斜角，p有何关系？

(2)11是否为定值？

|FA|FB

（学生分小组讨论，引导学生通过作垂线，利用抛物线的定义来解决问题。）

问题4：倾斜角为θ的直线经过抛物线y2px.(p0)的焦点,与抛物线交于A,B两点,求焦点弦AB的长。（用，p表示.

0)

2

（通过从不同的角度表示弦长，发现规律。）

补充信息深入探究：

过抛物线y2px的焦点F倾斜角为的直线与抛物线交于Ax1,y1,Bx2,y2，且A,B两点2在准线上的投影分别为A,B，线段AB的中点M在准线上的投影为N，仔细观察图形深入探究，你还能发现什么规律？

问题5：

(1) 以焦点弦AB在准线上的射影AB为直径的圆与AB有何关系？ (2) 以焦点弦AB为直径的圆与射影AB有何关系？

2 ''

（学生通过使用几何画板操作演示首先发现线圆相切，进而从数和形两个角度得到线圆相切。）

例题：（18年全国卷2）设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，AB=8,(1)求l的方程

（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程。

解：（1）由题意得F(1,0), l的方程为y=k(x-1)(k>0)

设A(x1,y1),B(x2,y2)

ìïy=k(x-1)

由í2得k2x2-(2k2+4)x+k2=0

ïîy=4x2k2+4216k+16>

0

D=

\x1+x2=

k24k2+4

\AB=AF+BF=(x1+1)+(x2+1)=

2k4k2+4=8解得k=-1（舍去）

由题设知：，k=1

\l的方程为：y=x-1

k2

（2）由（1）得AB的中点坐标为（3,2），所以AB的垂直平分线方程为

)y=-x+5

y-2=-(x-3即

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则

ìy0=-x0+5祆x0=3x0=11ï镲2

í得

或眄(y0-x0+1)2y0=2y0=-6ï(x0+1)=+16镲铑ïî2

因此所求圆的方程为：(x-3)2+(y-2)2=16或（x-11)2+(y+6)2=144

（通过高考题使学生体会对于具体的问题必须通过认真审题准确计算才能得到正确的答案。）

三、训练反馈，拓展提升

1、过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1,y2),B(x2,y2)，则y1y2为

x1x2A、4

B、4

C、p2

D、p2

2、过抛物线x22py(p0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1,y2),B(x2,y2)，则

x1x2 ，y1y2 。

3、已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．

4、AB是过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MNl，

p11N为垂足。给出下列四个结论：①ANBN；②FNAB；③为定值；④以

2|AF||BF|

3

线段AB为直径的圆与l相切，其中正确命题的序号为

。（将所有正确命题的序

号都写上）

四、小结:抛物线的焦点弦有哪些性质？

五、拓展思考：问题6：

A、O、B三点共线吗？

问题7：直线BN与FB有何关系？ 直线AN与FA有何关系？

问题8：(1)直线BN与抛物线有何关系 ,与FBB'有何关系？

(2)直线AN与抛物线有何关系 , 与FAA'有何关系？

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