习题1.3名师教学设计2

空间几何体的外接球

教学分析：

球是高考出题的热点之一，在近几年的高考题中都有出现。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

学情分析：

学生在高二系统的学习了立体几何，但是经过一年时间已经逐渐淡忘。一部分学生只能解决长方体的外接球问题，稍复杂一点就不会了。

教学目标：

知识与技能：学生学会用构造法解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。

情感、态度、价值观：完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。

重点：学会转化的思想方法。

难点：构造法的要点。

教学过程分析

教学内容与问题设置

复习球的体积和表面积公式。

球是高考出题的热点，我们先来复习一下球的体积公式和表面积公式

问：

球的问题关键是要研究球心位置和半径的大小

球经常和其它几何体结合出题，今天我们就来研究一下空间几何体的外接球问题

写题目

设计意图

知识准备。

活动一：

1.复习长方体的外接球问题。

C'

A'

C

D'

B'

D

复习基本模型外接球问题。

从学生熟悉的几何体开始复习，为进一步学习做准备。

我们先来看长方体的外接球问题

AB

问：一个球要满足什么条件，我们就把这个球叫做长方体的外接球

问：那么球心的位置在哪

问：如果给出长方体的长宽高，长方体的外接球半径怎么求

(长方体的体对角线长和他的长宽高什么关系)

问：如果是正方体，它的体对角线长和棱长什么关系

2.复习圆柱的外接球问题。

.O

问：一个球满足什么条件，我们把它叫做这个圆柱的外接球

问：球心的位置在哪

问：如果给出圆柱的底面半径和母线长，怎么求它外接球的半径

.复习圆锥的外接球问题。

P

O

问：一个球满足什么条件，我们把它叫做这个圆锥的外接球

问：球心的位置在哪

问：如果给出圆锥的底面半径和母线长，怎么求它外接球的半径

方程：先算出H

其实我们一直是在求它们截面的外接圆的半径，长方体对角面矩形的顶点都在球面上，长方体对角面长方形外接圆的直径也就是这个长方体外接球的直径，圆柱和圆锥我们解是它们轴截面图形外接圆的半径，

把求一个空间几何体外接球半径问题转化为求一个截面图形外接圆半径问题的过程

这就是我们所说的立体问题平面化

三角形的外接圆半径除了刚才同学想到在直角三角形中用勾股定理列方程的方法，还有什么方法

回想一下解三角形那一章

正弦定理：

比较正弦定理，不用确定外接圆的圆心

.活动二：

解决一个几何

问题1：

体的外接球可能有多种办法，让学生发三棱锥的三条棱PA,PB,PC两两垂直，挥想象，提出各种方法，通过比较生成对PA1,PB2,PC3,则其外接球的半径为 结合体外接球问题P

的认识。逐步完善学

生知识体系。

A

C

B

问：三棱锥的的顶点和长方体的顶点之间什么关系

它们的外接球是不是相同的

问：球心在哪，半径怎么求

（求长方体体对角线长需要长方体的长宽高，这几个量我们现在知道么）

变形：我们看下面这个三棱锥，底面是直角三角形，PB垂直底面，它的外接球半径怎么求

底面是长方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，它的外接球半径怎么求

底面是直角三角形的直棱柱，它的外接球半径怎么求

问：刚才这些几何体我们想到要把它们放到长方体几何环境当中去研究，它们的结构有什么共同特点，使你想到这一点的

我们把这些几何体放到长方体这个几何环境当中去研究有什么好处呢？1.增强了空间感，如果我们想直接就确定球心的位置，好不好找，而现在我们找到外接球球心的位置，我们以后再遇到其他立体几何问题，比如证明线面垂直，点到面的距离等等问题，如果几何体满足刚才同学们说的那些条件，我们也可以考虑把它放到长方体几何环境当中，可能会得到意想不到的帮助， 2.我们把特殊的几何体的外接球问题转化为与它同一个外接球的长方体的问题，把一个不熟悉的问题转化为一个我们熟悉的已经解决了的问题，这就是我们所说的特殊问题一般化

问题2：

三棱柱ABCA'B'C'的底面是边长为3的等边三角形，侧棱垂直底面，侧棱长为2，则该三棱柱的外接球半径为

C'

B'

A'

A

C

截面法：球心位置，球的半径怎么求，

B

（这种解法如果底面是任意三角形还可不可以）

圆柱法：

三棱柱的外接球和圆柱的外接球是不是相同的

圆柱的底面半径和母线长我们求

变形：我们在看这个三棱锥，底面是等边三角形，一条侧棱垂直底面，怎么求它的外接球的半径

如果想直接找这个三棱锥的外接球球心好不好找

但是我们把它的外接球问题转化为常见的已经解决的圆柱的外接球问题了，这有体现出我们刚才所说的特殊问题一般化

题3：

三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，侧棱长均为2，则该三棱锥的外接球半径为 A

D

B

C

问题4：

一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A. 3 B. 4 C. 33 D. 6

有些几何体可以放到不同的几何环境当中去研究

ABDC课堂练习：

1. 一个几何的体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为

2. 四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱长为2，则四棱锥的外接球的表面积为 P

CD

AB

小结：1.学生回顾这节课复习到的内容。

2.教师强调转化的思想在数学研究中的应用。

课后作业：

1. 三棱锥的三条棱PA,PB,PC两两互相垂直，PA=PB=PC=1，则其外接球的体积为_____

2.已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD=，AC=，BC⊥AD，则三棱锥的外接球的表面积为（

）

A．π B.6π C.5π D.8π

3.在三棱椎A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱椎外接球的表面积为（

）

A.2π B.6π C.π D.24π

4.棱长为2的正四面体的外接球的体积为_____

5.四面体PABC中PA=BC=2,AB=PC=4,,AC=PB=3，其外接球的体积为_____

6.三棱锥P-ABC中，PA面ABC，PA=2，AB=BC=CA=2, 则该几何体的外接球的表面积为____

7.平面内，边长为2的等边三角形PAC，与等腰直角三角形ABC有公共边AC, ABC90,沿着AC把ABC折起，使PB=3,三棱锥P-ABC四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为____