1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学实录及点评

几何体的外接球问题（学案）

高二文科数学必修2

【学习目标】

1.

通过学习，学会解决外接球问题，掌握补体法，大小圆关系式法等找几何体与球半径的关系；

2.

通过学习，能够提高对几何体的外接球的构图及空间想象能力；

3.

通过学习，总结求小圆半径及大小圆距离的一些规律.

【学习重难点】

重点是能解决几何体的外接球问题；难点是空间想象及找到几何体与外接球的联系；突破关键在于用多媒体辅助演示及对称性找到规律所在.

【学习过程】

类型一

长（正）方体及可补为长（正）方体

【例1】（2010年全国卷文7）

设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

2 2 2 2 （A）3a（B）6a（C）12a（D） 24a

【变式1】.在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1，6,3，

若该四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为

。

【变式2】已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，

若PA，PB，PC两两相互垂直，则三棱锥P－ABC的体积为

．

【变式3】．已知正三棱锥SABC的六条棱长都为( )

A.

- 1 - 46，则它的外接球的体积为

3642

332

3B. 323

3C. 64

3

D.

类型二

根据大小圆关系式：Rrd（d已知）

【例2】（2012年全国卷文8）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（

）

（A）6π

（B）43π

（C）46π

（D）63π

【例3】．已知过球面上有三点A,B,C的截面到球心的距离是球半径的一半，且222ABBCCA2，则此球的半径是（

）

34A．

B．1

C．

D．2

43

【变式】．已知球O的半径为R，A,B,C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的1R，ABAC2，BAC120, 则球O的表面积为

216166464

(B) 

(C) 

(D) 

(A) 9393距离为

【结论总结】三角形外接圆半径的求解方法：

（1）

直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半．

（2）

等边三角形（边长为a）外接圆的半径为r3a. 3（3）

顶角为120的等腰三角形外接圆的半径为腰长. （4）

设一般三角形外接圆的半径为r，根据正弦定理

- 2 - abc2r可求. sinAsinBsinC

类型三

根据大小圆关系式：Rrd（d未知）

【例4】已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且222ABAC1,BC3,若球O的半径为5, 则这个直三棱柱的高等于

【例5】．已知在三棱锥ABCD中，AD面ABC，BAC120，ABADAC2，

则该棱锥的外接球半径为

【变式】．如图所示，已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，

EAEB3，AD2，AEB60，则多面体EABCD的外接球的表面积为（ ）

（A）16

（B）8

（C）16

（D）64

3EBAD

【结论总结】（1）直三棱柱的高等于大小圆距离d的2倍. (2) 三棱锥垂直于底面的侧棱的一半就是大小圆距离d.

C课后综合提升训练

1.长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是

2. （

）

A．202π

B．252π

C．50π

D．200π

- 3 -

3. 已知正三棱锥SABC的六条棱长都为2，则它的外接球的半径为

4.（2011年全国卷理15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC23,则棱锥OABCD的体积为 。

5.（2010年全国卷理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

(A) a2 7(B) a2

3(C) 112a (D) 5a2

3

6．已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且ABAC1,BC3,若球O的体积为205,则这个直三棱柱的体积等于（ ）

3 A.2 B. 3 C.2 D. 5

21*c

7. 设点A,B,C为球O的球面上三点，O为球心．球O的表面积为100，且ABC是边长为43的正三角形，则三棱锥OABC的体积为(

）．

A．12

B．123

C. 243

D. 363

8. 已知三棱锥SABC所在顶点都在球O的球面上，且SC平面ABC，

若SCABAC1，BAC120，则球O的表面积为

．

- 4 -