复习参考题含PPT的教学设计及点评

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第二章立体几何证明复习题

考点1 线面平行的判定定理

文字语言：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. a//b

图形语言 符号语言：aa// b

方向1：证明中位线平行得线面平行

例1.【2013·新课标全国Ⅱ】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点。

（1）证明：BC1//平面A1CD；（2）设AA1DE的体积。

1ACCB2,AB22，求三棱锥CA

例2.【2015·山东高考】如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点. （I）求证：BD//平面FGH；（II）若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.

【解析】（I）证法一：连接DG,CD.设CDGFM,连接MH，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G分别为AC的中点，可得DF//GC,DFGC，所以四边形DFCG是平行四边形，则M为CD的中点，又H是BC的中点，所以HM//BD, 又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD//平面FGH.

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(II)证明：连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH//AB,由ABBC,得GHBC，又H为BC的中点，所以EF//HC,EFHC,因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF//HE.

又CFBC，所以HEBC.又HE,GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH，

又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.

方向2：证明平行四边形对边平行得线面平行

例3．【2014·天津卷17】

如图所示，四棱锥P -

ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝2，AD＝2，PA＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC的中点．

(1)证明：EF∥平面PAB；

PA平面ABCD，AD例4.【2016·新课标全国Ⅲ】如图，四棱锥PABC中，BC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点．

（I）证明MN平面PAB；（II）求四面体NBCM的体积.

方向3：证明面面平行得线面平行

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必修2 例5.【2013年高考辽宁卷】如图,AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.

(I)求证:BC平面PAC；

(II)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG//平面PBC.

考点2 平面与平面平行的判定定理

定理1：如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

简记:线面平行面面平行

符号语言b////

abp

定理2：一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面的两条相交直线，则两个平面平行. 简记:线线平行面面平行

a//a//mb//n符号语言//

abPmnQ

例6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：平面EFG∥平面BDD1B1.

证明

如图，连接SD，SB，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，同理，EG∥平面BDD1B1.又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1. 例7.如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．

(1)求证：平面MNG∥平面ACD；

(2)求S△MNG∶S△ADC.

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【解析】

(1)证明：连接BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H.

BMBNBG∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有＝＝＝2.连接PF、FH、PH，有MPNFGHMN∥PF.

又PF⊂平面ACD，MN⊄面ACD，∴MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.

MGBG221111(2)由(1)可知＝＝，∴MG＝PH.又PH＝AD，∴MG＝AD.同理NG＝AC，MN＝CD，

PHBH332333∴△MNG∽△DCA，其相似比为1∶3.∴S△MNG∶S△ADC＝1∶9.

考向3 直线与平面平行的性质定理

文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行. 定理的实质:线面平行线线平行

a//a//b

符号语言ab

例8.如图，CD,EF,AB,AB//,求证：CD//EF.

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例9. 【2014·安徽高考】如图，四棱锥PABCD的底面边长为8的正方形.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点，

BC//平面GEFH.（1）证明：GH//EF.

例10.如图所示的一块木料中，棱BC平行于面AC. ⑴

要经过面AC内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线? ⑵所画的线与平面AC是什么位置关系?

考向4 平面与平面平行的性质定理

性质1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

//符号语言：aa//b

b

性质2：如果两个平面平行,一个平面内的直线平行于另一个平面.

符号语言：//a//

a

例11.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. 求证：N为AC的中点．

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必修2 证明

∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，

平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，

11∴四边形ANC1M为平行四边形，∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，∴N为AC的中点．

22例12. (2015·天津，改编)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点M和N分别为B1C和D1D的中点．求证：MN∥平面ABCD. 【证明】

设E为棱CC1的中点，连接NE，ME.∵M，N分别为B1C，DD1的中点，

∴ME∥C1B1∥CB，NE∥CD，又ME⊄平面ABCD，NE⊄平面ABCD，∴ME∥平面ABCD，NE∥平面ABCD.

又ME∩NE＝E，∴平面MNE∥平面ABCD.又MN⊂平面MNE，∴MN∥平面ABCD.

考点5

直线与平面垂直的判定定理

文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 定理实质:线线垂直线面垂直

符号语言：lbl

abP

方向一：由线面垂直得线线垂直

例13.【2014·福建高考】如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD,CDBD. （1）求证：CD平面ABD；

（2）若ABBDCD1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积. 【解析】（1）∵AB平面BCD，CD平面BCD，∴ABCD. 又∵CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，

∴CD平面ABD. （2）由AB平面BCD，得ABBD.∵ABBD1，∴SABDla1.∵M是AD2的中点，∴SABM的高hCD1，

11SABD.由（1）知，CD平面ABD，∴三棱锥C-ABM24

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必修2 因此三棱锥AMBC的体积

VAMBCVCABM11SABMh. 312平面BCD=BD，

解法二：（1）同方法一. （2）由AB平面BCD知，平面ABD平面BCD，又平面ABD如图，过点M作MNBD交BD于点N. 则MN平面BCD，且MN111AB，又CDBD,BDCD1，∴SBCD. 222V∴三棱锥AMBC的体积

VAMBCADVBCM1BCDABS31SBCDMN31B.

CD12例14.已知ABCD是矩形，AD2AB，E,F分别是线段AB,BC的中点，PA平面ABCD．

（1）求证：DF平面PAF；（2）在棱PA上找一点G，使EG∥平面PFD，并说明理由．

PAEBD

（1）证明：在矩形ABCD中，因为AD=2AB,点F是BC的中点, 所以∠AFB=∠DFC=45°．所以∠AFD=90°,

即AF⊥FD．又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD．

所以FD⊥平面PAF． （2）过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,且

AH =FCP1AD． 4EGADH1再过H作HG//PD交PA于G, 所以GH//平面PFD,且

AG=PA． 4所以平面EHG//平面PFD．

所以EG//平面PFD．从而点G满足1AG=PA． 4

BFC

方向二：由特殊图形几何性质得线线垂直（如：等腰三角形的高垂直底边，菱形对角线互相垂直等）

例15.【2013·湖南高考】如图，在直菱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，AA13，

D是BC的中点，点E在棱BB1上运动。

（1）证明：ADC1E；

（2）当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1A1B1E的体积

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【解析】（I）证明：因为AB=AC，D是BC的中点，所以ADBC

①

又在直三棱柱

ABC-A1B1C1

中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，

所以ADBB1

②

由①②可得AD平面BB1C1C,因为点E在棱BB1上运动。得C1E平面BB1C1C, 所以AD⊥C1E。

(II)因为AC//A1C1,所以A1C1E是异面直线AC,C1E所成的角，所以A1C1E60，因为0B1A1C1BAC900,所以A1C1A1B1,又AA1A1C1,从而A1C1平面A1ABB1,于是A1C1A1E

故C1EA1C122，又B1C12，所以B1E2

cos600从而VC1A1B1E1112SA1B1EA1C1222

3323例16.（2013·安徽文科·Ｔ18）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60.已知PBPD2，PA（1）证明：PCBD；

（2）若E为PA的中点，求三菱锥PBCE的体积.

6.

【解析】（1）连接AC,交BD于O点,连接PO,因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO,由PB=PD知,PO⊥BD,再由PO∩AC=O,知BD⊥平面APC,又PC⊂平面APC,因此PC⊥BD.

（Ⅱ）因为E是PA的中点，所以VP-BCE=VC-PEB=VC-PAB=VB-APC,由PB=PD=AB=AD=2知，1212DABD@DPBD,因为?BAD600，

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必修2 所以PO=AO=3,AC=23，BO=1,又

PA=6,PO2+AO2=PA2，即PO^AC,故S由（1）知BO^平面APC，因此VP-BCE1PO.ACAPC=3，

21111=VB-APC=..BO.SAPC=, 2232=例17.

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE

与四面体ACDE的体积比．

【解析】

O（1）证明：取AC中点O，连结OD,OB. ∵ADCD，O为AC中点，

∴ACOD，

又∵ABC是等边三角形，∴ACOB，

又∵OBODO，∴AC平面OBD，而BD平面OBD，

∴ACBD. （2）设ADCD2，因为△ACD是直角三角形，则AC22，

因为△ABC是正三角形，ABCD22，又AB=BD，所以BD22

所以ABDCBD，所以AEEC，

又AEEC，AC22，所以AEEC2，

在ABD和AED中，设DEx，根据余弦定理

AD2BD2AB2AD2DE2AE222(22)2(22)222x222cosADBx22ADBD2ADDE22x2222

所以点E是BD的中点，则VDACEVBACE，所以VDACEVBACE，

1即四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1.

方向三：勾股定理逆运用得线线垂直

例18.如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2，AD=AB=2

（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值.

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解析（I）证明：连结OCBODO,ABAD,AOBD.BODO,BCCD,COBD.在AOC即AO2CO2AC2,

AOC90o,AOOC.BDOCO,

AO平面BCD

（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在OME中，1121

EMAB,OEDC1,OM是直角AOC斜边AC上的中线，OMAC1,222222

. cosOEM,

异面直线AB与CD所成角的余弦值为44例19.（2016届民中月考）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，PO平面ABC，当OCOP3，AO1，AB2时.（1）求证：BO平面PAC；（2）求点O到平面PBC的距离. 中，由已知可得AO1,CO3.而AC2,

（Ⅰ）证明：PO平面ABC，OB平面ABCPOOB，OPAC，

ABBCBCAC2AB2422223，ACB30. 在△BOC中，OB2OC2BC22OCBCcos303OB3

BC2OC2OB212OBAC，而ACPOO，所以，BO平面PAC

OBOC，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PO平面OBC，设点O到平面PBC的距离为h，∴VPOBCVOPBChS△OBCPOS△PBC1333232132(23)222235．

5

考向6 平面与平面垂直的判定定理

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必修2 定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 定理实质:线面垂直面面垂直

符号语言

例20.如图，四棱锥PABC中，PA底面ABCD，PCAD.底面ABCD为梯形，AB//DC，

ABBC，PAABBC1. （1）求证：平面PAB平面PCB；（2）求四棱锥PABCD的体积V. l

l

（1）证明：如图，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，PAAB=A，∴BC⊥平面PAB. 又BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB. （2）解：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.又PC⊥AD，∴AD⊥平面PAC，∴AC⊥AD. 在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得BAC4，∴DCABAC4. 12）1又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形， ∴DC=2AB，∴S梯形ABCD（123，

21131V四棱锥PABCDS梯形ABCDPA1. ......................12分

3322例21.【2015·全国Ⅰ卷】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD，

(1)证明：平面AEC⊥平面BED. (2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为6，求该三棱锥的侧面积. 3

【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,又BD∩BE=B,故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. (2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=x,GB=GD=.

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必修2 因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=x. 由已知得,三棱锥E-ACD的体积VEACD11636故x=2.从而可得AE=EC=ED=ACGDBEx32243.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2. .所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为例22.【2012·全国Ⅱ卷】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，AC=BC=D是棱AA1的中点。

（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；

（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

【解析】（1）在RtDAC中，ADAC，

得：ADC45，



同理：A1DC145CDC190，

1AA1，2C1A1B1DCB

得：DC1DC。

由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1AACC，

BCC，所以所以BC平面ACC1A1。又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC而DCDC1平面BDC。又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC。

（2）由已知AC=BC=1AA1，D是棱AA1的中点，设AA12a，ACBCADa，则2VABCA1BC1112a2aa3。由（1），BC平面ACC1A1，所以BC为四棱锥BACC1D的高，

21113(3aa)aa。

因此平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为322所以VBAC1CDVABCA1B1C1VBACCD1VBACC1D1a3a321。

131a2例23.【2015高考新课标1，理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

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必修2

又∵AE⊥EC，∴EG=3，EG⊥AC，在Rt△EBG中，可得BE=2，故DF=在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=26.在Rt△FDG中，可得FG=.22232222可得EF=，∴EGFGEF，∴EG⊥FG，

22∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

……6分

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直2），C（0，3，0），∴AE=2AECF32（1，3，2），CF=（-1，-3，）故cosAE,CF. 23|AE||CF|角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－3，0），E(1,0, 2)，F（－1,0，&科&网]所以直线AE与CF所成的角的余弦值为3.

3考向7 直线与平面垂直的性质定理

(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．

(2)图形语言：

(3)符号语言：a,ba//b. 例24.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：平面BCE⊥平面CDE.

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必修2

【证明】

取CE的中点G，连接FG，BG，AF.

1∵F为CD的中点，∴GF∥DE，且GF＝DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE.则GF∥AB.

21又∵AB＝DE，∴GF＝AB.则四边形GFAB为平行四边形．于是AF∥BG.∵△ACD为等边三角形，F为CD2的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又∵CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面CDE，

∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

考向8 平面与平面垂直的性质定理

文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．（简记为面面垂直线面垂直）。

AB符号语言l llAB例25．【2013年北京高考】如图,在四棱锥PABCD中,AB//CD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求证: (1)PA底面ABCD;(2)BE//平面PAD;(3)平面BEF平面PCD

【解析】(1)因为面PAD⊥面ABCD,交线为AD,PA⊥AD,所以PA⊥面ABCD. (2)因为AB∥CD,E为CD中点,CD=2AB,所以AB∥DE且AB=DE, 所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD. 又因为AD⊂面PAD,BE⊄面PAD,所以BE∥面PAD. (3)因为BA⊥平面PAD,而平面PAD⊥平面ABCD,交线AD,所以BA⊥平面PAD,因为AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD且CD⊥AD,又因为在平面PCD中,EF∥PD(三角形的中位线),于是CD⊥FE.因为在平面ABCD中,由(2),BE∥AD,于是CD⊥BE.因为FE∩BE=E,FE⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,所以CD⊥平面BEF,又因为CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.

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必修2 例26.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB. 【证明】

(1)连接BD.∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD.∴BG⊥平面PAD.

(2)由(1)知AD⊥BG，连接PG.∵△PAD为正三角形，G为AD中点，

∴PG⊥AD，∵BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，∵PB⊂平面PBG，

∴AD⊥PB.

例27.【2016年天津高考】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF//AB，AB2，BCEF1，AE6，DE3，BAD60，G为BC的中点. (Ⅰ)求证：FG//平面BED；(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；

解析：（Ⅰ）证明：取BD的中点为O，连接OE,OG，在BCD中，因为G是BC的中点，所以OG//DC1DC1，又因为EF//AB,AB//DC，所以EF//OG且EFOG

2，即四边形OGFE是平行四边形，所以FG//OE，又FG平面BED，OE平面BED，所以FG//平面BED. 00（Ⅱ）证明：在ABD中，AD1,AB2,BAD60，由余弦定理可BD3，进而可得ADB90，即BDAD，又因为平面AED平面ABCD,BD平面ABCD；平面AED平面ABCDAD，所以BD平面AED.又因为BD平面BED，所以平面BED平面AED. 且OG

例28.【2016师附中月考（二）】多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB//CD，ADCD，AB2，CD4，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于（1）求证：平面BCE平面BDE; （2）求多面体ABCDEF的体积. 2. 2

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（Ⅰ）证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCDAD，EDAD，ED平面ADEF，

∴ED平面ABCD，又BC平面ABCD，∴BCED．∵ED平面ABCD，∴EBD为BE与平面ABCD所成的角，设EDa，则ADa，BD4a2，

在Rt△EDB中，tanEBDEDa2∴a2，BC中，BD22，，在△D

BC22，CD4，2BD24aEDD，∴BC⊥平面BDE，

∴BD2BC2CD2，∴BCBD，又BD又BC平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE．

……………………………………（6分）

（Ⅱ）解：同理得AB平面ADEF，∴AB为棱锥BADEF的高，

18CD∴VBADEF222，∵ADCD，ADED，33EDD，

∴AD平面CDE，∴AD为棱锥BCDE的高，∴VBCDE42211328，

38816∴VABCDEFVBADEFVBCDE．

333

……………………………………（12分）

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