1.2.1 充要条件优质课教案整理

1.2.1充分条件与必要条件

教学目标

知识与技能: 正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念;会判断命题的

充分条件、必要条件.进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

过程与方法: 充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想, 培养学生现问题的能力, 通过对充分条件、

必要条件的判定,提高分析问题、解决问题的能力;学会观察,敢于归纳,关于建构;充分培养学生的发

散思维能力,挖掘学生的创新思维能力。

情感、态度与价值观

通过“ p ⇒q ” 与“ q ⇒p ”的判断, 感受对立,统一的思想,培养辩证唯物主义观;通过学习本节课体

验成功的愉悦,激发学习的兴趣;通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。

教学重点与难点

重点:充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念. (解决办法:对这三个概念分别先从实际问题引起概念,再详细讲述概念,最后再应用概念进行论证. ) 难点:判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

关键:分清命题的条件和结论,看是条件能推出结论还是结论能推出1

条件。

教学过程

一、复习回顾

1、四种命题的形式与关系

二、创设情境,新课引入

当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候,你向老师介绍你的妈妈说:“这是我的妈妈” . 那么, 大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说:“你是她的孩子”吗?不会了!为什么呢?因为前面你所

介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子 . 那么,这在数学中是一层什么样的关系呢?今天我们就来

学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件 . 三、师生互动,新课讲解

问题

1:前面讨论了“若

p 则

q ”形式的命题的真假判断,请同学们判断下列命题的真假,并说明条件和

结论有什么关系? (1)若

x =y ,则

x 2=y 2 (2)若

ab = 0,则

a = 0 (3)若

x 2>1,则

x >1 (4)若

x =1或

x =2,则

x 2-3x +2=0 ⇒“若

p 则

q ” 为真, 是指由

p 经过推理可以得出

q , 也就是说, 如果

p 成立, 那么

q 一定成立, 记作

p ⇒q , 或者

q ⇐p ;如果由

p 推不出

q ,命题为假,记作

p 简单地说, “若

p 则

q ”为真,记作

p ⇒q (或

q ⇐p ) ; q p . 命题

(1)、

(4)为真, 是由

p 经过推理可以得出

q , 即如果

p 成2

立, 那么

q 一定成立, 此时可记作

“ p ⇒q ” , 命题

(2)、

(3)为假,是由

p 经过推理得不出

q ,即如果

p 成立,推不出

q 成立,此时可记作“ p q . ”

说明:“ p ⇒q ”表示“若

p 则

q ”为真,可以解释为:如果具备了条件

p ,就是以保证

q 成立,即

表示“ p 蕴含

q ” ,理解为“ p ”为“ q ”的子集。

1. 什么是充分条件?什么是必要条件? 一般地,如果已知

p ⇒q ,那么就说:p 是

q 的

充分条件

; q 是

p 的

必要条件

; 如果已知

p ⇒q ,且

q ⇒p ,那么就说:p 是

q 的

充分且必要条件,简记充要条件

; 如果已知

p ,那么就说:p 不是

q 的

充分条件

; q 不是

p 的

必要条件

; 回答上述命题

(1)(2)(3)(4)中的条件关系 . 命题

(1)中因

x =y ⇒x 2=y 2,所以“ x =y ”是“ x 2=y 2”的充分条件, “ x 2=y 2”是“ x =y ”的必要条件; x 2=y 2=y ,所以“ x 2=y 2”不是“ x =y ”的充分条件, “ x =y ”不是“ x 2=y 2”的必要条件; 命题

(2)中因

a = 0⇒ab = 0, ,所以“ a = 0”是“ ab = 0”的充分条件 . “ ab = 0”是“ a = 0”的必要条件 . ab = 0a = 0,所以“ ab = 0”不是“ a = 0”的充分条件, “ a = 0”不是“ ab = 02”的必要条件; 命题

(3)中,因“ x >1⇒x 2>1” ,所以“ x >1”是

x 2>1的充分条件, “ x 2>1”是“ x >1”的必要条件 . x 2>1 x >1,所以“ x 2>1”不是“ x >1”的充分条件, “ x >1”不是“ x 2>1”的必要条件. 3

命题

(4)中,因

x =1或

x =2⇔x 2-3x +2=0,所以“ x =1或

x =2”是“ x 2-3x +2=0”的充要条件. 由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程,可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类: 2. 充分条件与必要条件的判断

例

1(课本

P9例

1) 下列“若

p ,则

q ”形式的命题中,那些命题中的

p 是

q 的充分条件? (1)若

x =1,则

x 2- 4x + 3 = 0; (2)若

f(x)= x,则

f(x)在

(, ) -∞+∞上为增函数; (3)若

x 为无理数,则

x 2为无理数. 分析:要判断

p 是否是

q 的充分条件,就要看

p 能否推出

q . 解:命题(1) (2)为真命题,命题(3)为假命题,所以,命题(1) (2)中的

p 是

q 的充分条件。

3.充分条件与必要条件的判断方法: (1)直接利用定义判断:即“若

p ⇒q 成立,则

p 是

q 的充分条件, q 是

p 的必要条件” . (条件与

结论是相对的) (2)利用等价命题关系判断:“ p ⇒q ”的等价命题是“ ⌝q ⇒⌝p ” 。即“若┐ q ⇒┐ p 成立,则

p 是

q 的充分条件, q 是

p 的必要条件” 。

例2(课本

P10例

2)下列“若

p, 则

q ”形式的命题中,那些命题中的

q 是

p 的必要条件

? (1)若

x = y,则

x 2= y2; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3)若

a >b, 则

ac >bc . 4

分析:要判断

q 是否是

p 的必要条件,就要看

p 能否推出q. 解:命题(1) (2)为真命题,命题(3)为假命题,所以,命题(1) (2)中的

q 是

p 的必要条件。

变式训练

2:指出下列各组命题中, p 是

q 的什么条件, q 是

p 的什么条件: (1) p:x -1=0; q :(x -1)(x +2)=0. (2) p:两条直线平行; q :内错角相等 . (3) p:a>b; q :a 2>b2 (4) p :四边形的四条边相等; q :四边形是正四边形 . 分析:可根据“若

p 则

q ”与“若

q 则

p ”的真假进行判断 . 解:⑴由

p ⇒q ,即

x -1=0⇒(x -1)(x +2)=0,知

p 是

q 的充分条件, q 是

p 的必要条件 . ⑵由

p ⇒q ,即两条直线平行

⇔内错角相等,知

p 是

q 的充要条件, q 是

p 的充要条件; ⑶由

p q ,即

a>ba 2>b2,知

p 不是

q 的充分条件, q 不是

p 的必要条件; q p ,即

a 2>b2, 知

q 不是

p 的充分条件, p 不是

q 的必要条件 . 综述:p 是

q 的既不充分条件又不必要条件。

⑷由

q ⇒ p, 即四边形是正四边形

⇒四边形的四条边相等, 知

q 是

p 的充分条件, p 是

q 的必要条件 . 由

p ,即四边形的四条边相等

四边形是正四边形,知

p 不是

q 的充分条件, q 不是

p 的必要条件; 综述:p 是

q 的必要不充分条件。

5

以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法 . 那么,如果由命题不是很好判断的话, 我们可以换一种方式,根据互为逆否命题的等价性,利用它的逆否命题来进行判断 . 学习课堂练习(课本

P10练习:NO :1; 2; 3; 4) 4.分析比较充分条件、必要条件与充分不必要条件、必要非充分条件和充要条件的区别和判定

命题:若

p ,则

q (1)若

p ⇒q ,且

q p . 则

P 是

q 的充分不必要条件

(2)若

p q ,且

q ⇒p . 则

p 是

q 的必要不充分条件

(3)若

p ⇒q ,且

q ⇒p . 则

p 是

q 的充要条件, q 也是

p 的充要条件

(4)若

p q ,且

q p . 则

p 是

q 的既不充分与不必要条件

备注:只能“已知(条件) ”是“结论”的什么条件。

例

3A A B B 说说

A 是

B 的什么条件? 变式训练

3 :在下列电路图中,闭合开关

A 是灯泡

B 亮的什

么条件: 如图

(1)所示,开关

A 闭合是灯泡

B 亮的

条件; 如图

(2)所示,开关

A 闭合是灯泡

B 亮的

条件; 如图

(3)所示,开关

A 闭合是灯泡

B 亮的

条件; 如图

(4)所示,开关

A 闭合是灯泡

B 亮的

条件; 6

解:图

(1):充分但不必要条件; 图

(2):必要但不充分条件; 图

(3):充要条件; 图

(4):既不充分也不必要条件 . 例

4:如图

1,有一个圆

A ,在其内又含有一个圆

B. 请回答: ⑴

命题:若“ A 为绿色” ,则“ B 为绿色”中, “ A 为绿色”是“ B 为绿色”的什么条件; “ B 为绿色”又

是“ A 为绿色”的什么条件 . ⑵

命题:若“红点在

B 内” ,则“红点一定在

A 内”中, “红点在

B 内”是“红点在

A 内”的什么条件; “红点在

A 内”又是“红点在

B 内”的什么条件 . 解法

1(直接判断

) : ⑴∵“ A 为绿色

⇒B 为绿色”是真的,∴由定义知, “ A 为绿色”是“ B 为绿色”的充分条件; “ B 为绿

色”是“ A 为绿色”的必要条件 . ⑵如图

2⑴,∵“红点在

B 内

⇒红点在

A 内”是真的,∴由定义知, “红点在

B 内”是“红点在

A 内” 的充分条件; “红点在

A 内”是“红点在

B 内”的必要条件 . 解法

2(利用逆否命题判断

) : ⑴它的逆否命题是:若“ B 不为绿色”则“ A 不为绿色” . ∵“ B 不为绿色

⇒ A不为绿色”为真, ∴“ A 为绿色”是“ B 为绿色”的充分条件; “ B 为绿色”是“ A 为绿色”的必要条件 . ⑵它的逆否命题是:若“红点不在

A 内” , 则“红点一定不在

B 内” . 如图

2⑵,∵“红点不在

A 内

⇒红点一定不在

B 内”为真,∴“红点在

B 7

内”是“红点在

A 内”的充分条件; “红点在

A 内”是“红点在

B 内”的必要条件 . 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢?下面我们以例

5为例来说明 . 先说充分性:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的 . 例如, 说“ A 为绿色”是“ B 为绿色”的一个充分条件,就是说“ A 为绿色” ,它足以保证“ B 为绿色” . 它符合上

述的

“若

p 则

q”为真(即

p ⇒q ) 的形式 . 再说必要性:必要就是必须,必不可少 . 从例

5的图可以看出,如果“ B 为绿色” , A 可能为绿色, A 也

可能不为绿色 . 但如果“ B 不为绿色” ,那么“ A 不可能为绿色” . 因此,必要条件简单说就是:有它不一定, 没它可不行 . 它满足上述的

“若非

q 则非

p”为真(即┐ q ⇒┐ p ) 的形式 . 总之,数学上的充分条件、必要条件的“充分” 、

“必要”两词,与日常生活中的“充分” 、

“必要”意

义相近,不过,要准确理解它们,还是应该以数学定义为依据 . 例

5的问题,若用集合观点又怎样解释呢?请同学们想一想 . 5.用集合的思想理解充分与必要条件

给定两个条件

p ,q,要判断

p 是

q 的什么条件,也可考虑集合:A={x |x 满足条件

q},B={x |x 满足条件

p} (1) A ⊆B, 则

p 为

q 的充分条件, q 为

p 的必要条件; (2) B=A, 则

p 为

q 的充要条件, q 为

p 的充要条件; 8

(3) 变式训练

4:设命题甲为:0<="" a="" |x-2| A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

四、课堂小结,巩固反思

本节主要学习了推断符号“ ⇒”的意义,充分条件与必要条件的概念,以及判断充分条件与必要条

件的方法 . (1)若

p ⇒q (或若┐ q ⇒┐ p ) ,则

p 是

q 的充分条件;若

q ⇒p (或若┐ p ⇒┐ q ) ,则

p 是

q 的必要条

件 . (2)条件是相互的; (3) p 是

q 的什么条件,有四种回答方式: ①

p是

q 的充分而不必要条件; ②

p是

q 的必要而不充分条件; ③

p是

q 的充要条件; ④

p是

q 的既不充分也不必要条件。

五、布置作业:(分层作业) 1、用“充分”或“必要”填空,并说明理由: ①“ a 和

b 都是偶数”是“ a+b也是偶数”的

条件; (答:充分) ②“ x >5”是“ x >3”的

条件; (答:充分) ③“ x ≠3”是“ |x|≠3”的

条件; (答:充分) ④“ “个位数字是

5的自然数”是“这个自然数能被

5整除”的

条件; (答:充分) ⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的

条件; (答:必要) ⑥对于一元二次方程

ax 2+bx+c=0(其中

a,b,c 都不为

0)来说, 9

“ b 2-4ac ≥0”是“这个方程有两个正根”

的

条件; (答:必要) 10