1.4.2 存在量词课堂实录【3】

[学习目标]

1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题.3.学会建立数学模型，并会求解数学模型.

知识点一

利用导数解决生活中的优化问题的步骤

1.分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；

2.求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

3.比较函数在区间端点和在f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. 思考

(1)什么是优化问题？

(2)优化问题的常见类型有哪些？

答案

(1)在生活中，人们常常遇到求使经营利润最大、用料最省、费用最少、生产效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. (2)费用最省问题，利润最大问题，面积、体积最大问题等. 知识点二

解决优化问题的基本思路

思考

解决生活中优化问题应注意什么？

答案

(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式；

(2)在建立函数模型的同时，应根据实际问题确定出函数的定义域；

(3)在实际问题中，由f′(x)＝0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大值(极小值)，那么不与端点处的函数值比较，也可以判断该极值就是最大值(最小值)；

(4)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，例如，长度、宽度应大于0，销售价格为正数等.

题型一

利润最大问题

例1

某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低售价，销售量就会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元/件，0≤x≤21)的平方成正比.已知每件商品的售价降低2元时，一星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数；

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

解

(1)若每件商品单价降低x元，则一个星期多卖的商品数为kx2件. 由已知条件得k·22＝24，解得k＝6. 若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].

(2)对(1)中函数求导得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12). 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x)

f(x)

∴x＝12时，f(x)取得极大值.∵f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，∴30－12＝18(元)，故定价为每件18元能使一个星期的商品销售利润最大. 反思与感悟

利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值. 解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利. 跟踪训练1

某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x吨与每吨产品的价格p(元/吨)1之间的函数关系式为p＝24 200－x2，且生产x吨产品的成本为R＝50 000＋200x(元).问：该5厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？

1124 200－x2x－(50 000＋200x)＝－x3解

依题意，知每月生产x吨产品时的利润为f(x)＝553＋24 000x－50 000(x＞0)，故f′(x)＝－x2＋24 000. 5令f′(x)＝0，得x1＝200，x2＝－200(舍去). ∵在(0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，且x＝200是极大值点，∴200就是最大值0

9 072

(0,2)

－

2

0

(2,12)

＋

12

0

(12,21)

－

21

极小值

极大值

0

1点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元). 5∴每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元. 题型二

面积、容积最值问题

例2

已知一扇窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接，其中半圆的直径为2r，如果窗子的周长为10，求当半径r取何值时窗子的面积最大. 解

设矩形的另一边长为x，半圆弧长为πr，

10－π＋2r∴πr＋2r＋2x＝10，∴x＝. 21110π＋2r2(0＜r＜又S＝πr2＋2xr＝10r－)，

22π＋2∴S′＝10－(π＋4)r，

10令S′＝0，得r＝，

4＋π10当0＜r＜时，S′＞0，

4＋π当1010＜r＜时，S′＜0，

4＋ππ＋210∴当r＝时，窗子的面积最大. 4＋π反思与感悟

在解决面积、体积的最值问题时，要正确引入变量，将面积或体积表示为关于变量的函数，结合使实际问题有意义的变量的范围，利用导数求函数的最值. 跟踪训练2

如图，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|＝3 m，|AD|＝2 m.

(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长应在什么范围内？

(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积；

(3)若AN的长度不少于6 m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积. |DN||DC|解

设AN的长为x m(x＞2)，∵＝，

|AN||AM|∴|AM|＝3x. x－23x2∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝. x－2

3x2(1)由S矩形AMPN＞32得＞32. x－2∵x＞2，∴3x2－32x＋64＞0，即(3x－8)(x－8)＞0，

882，∪(8，＋∞). ∴2＜x＜或x＞8，即AN长的取值范围是33(2)设S矩形3x－22＋12x－2＋123x212＝＝3(x－2)＋＋12≥2 AMPN＝y，则y＝x－2x－2x－2123x－2·＋12＝24. x－2123x2当且仅当3(x－2)＝，即x＝4时，y＝取得最小值，即当AN的长度为4 m时，S矩形x－2x－2AMPN取得最小值24 m2. 6xx－2－3x23xx－43x2(3)令y＝，则y′＝＝. x－2x－22x－223x23x2∴当x＞4时，y′＞0，即函数y＝在(4，＋∞)上单调递增，∴函数y＝在[6，＋∞)x－2x－2上也单调递增. 3x2∴当x＝6时，y＝取得最小值，即当AN的长度为6 m时，S矩形AMPN取得最小值27 m2. x－2题型三

成本最省问题

例3

甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b＞0)；固定部分为a元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

s解

(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为v，全程运输成本为

s2sa＋bv，

y＝a·＋bv·＝svvva∴所求函数及其定义域为y＝sv＋bv，v∈(0，c]. (2)由题意，s、a、b、v均为正数. a令y′＝sb－v2＝0得v＝a.但v∈(0，c]. b①若②若a≤c，则当v＝ba时，全程运输成本y最小；

ba＞c，则v∈(0，c]，

b此时y′＜0，即y在(0，c]上为减函数.

所以当v＝c时，y最小. 综上可知，为使全程运输成本y最小，

当当a≤c时，行驶速度v＝ba千米/时；

ba＞c时，行驶速度v＝c千米/时. b反思与感悟

选取合适的量做自变量，并根据实际确定其取值范围，正确列出函数关系式，然后利用导数求最值.其中把实际问题转化为数学问题，正确列出函数关系式是解题关键. 跟踪训练3

工厂A到铁路的垂直距离为20 km，垂足为B，铁路线上距离B处100 km的地方有一个原料供应站C，现在要从BC段上的D处向工厂修一条公路，使得从原料供应站C到工厂A所需的运费最省，已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3∶5，则D点应选在何处？

解

设BD＝x，则AD＝x2＋202，CD＝100－x，如果公路每千米的运费为a，那么铁路每3千米的运费为a，

5于是从原料供应站C途中经中转站D到工厂A所需总运费为

3y＝ax2＋202＋a(100－x)(0≤x≤100)，

5a5x－3x2＋202ax3y′＝2－a＝. x＋20255x2＋202令y′＝0, 得5x＝3x2＋202，∴x＝15. 由实际问题可知，运输费用一定有最小值，而此函数有唯一极值点，

故x＝15时取最小值，故D点在距B点15 km处最好.

因没有注意问题的实际意义而出错

例4

某船由甲地逆水行驶到乙地，甲、乙两地相距s(km)，水的流速为常量a(km/h)，船在静水中的最大速度为b(km/h)(b＞a)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比，比例系数为k，则船在静水中的航行速度为多少时，其全程的燃料费用最省？

错解

设船在静水中的航行速度为x km/h，全程的燃料费用为y元，

sx22由题设可得y＝f(x)＝·kx＝sk，x∈(a，b]，

x－ax－ax2－2ax所以y′＝sk. x－a2

令y′＝0，得x＝2a或x＝0(舍)，所以f(2a)＝4ask，

即当x＝2a时，ymin＝4ask. 故当船在静水中的航行速度为2a km/h时，燃料费用最省. 错因分析

这个实际问题的定义域为(a，b]，而x＝2a为函数的极值点，是否在(a，b]内不确定，所以需要分类讨论，否则会出现错误. 正解

设船在静水中的航行速度为x km/h，全程的燃料费用为y元，

sx22由题设可得y＝f(x)＝·kx＝sk·，x∈(a，b]，

x－ax－ax2－2ax所以y′＝sk·，

x－a2令y′＝0，得x＝2a或x＝0(舍). (1)当2a≤b时，若x∈(a,2a)，y′＜0，f(x)为减函数，若x∈(2a，b]时，y′＞0，f(x)为增函数，

所以当x＝2a时，ymin＝4ask. xx－2a(2)当2a＞b时，y′＝sk·，

x－a2当x∈(a，b]时，y′＜0，

所以f(x)在(a，b]上是减函数，

1所以当x＝b时，ymin＝sk·b2·. b－a综上可知，若b＜2a，则当船在静水中的速度为b km/h时，燃料费用最省；

若b≥2a，则当船在静水中的速度为2a km/h时，燃料费用最省. 防范措施

在运用导数解决实际问题的过程中，正确建立数学模型，找到实际问题中函数定义域的取值范围.

1.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为(

) R3A.和R

2247C.R和R

55答案

B 解析

设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x，则另一边长为2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2(0＜x＜R)，l′＝2－4x555.令l′＝0，解得x＝R，x＝－R(舍去).当0＜x＜R时，12555R2－x2B.545R和R

55D.以上都不对

l′＞0；当55R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的相邻55545R，R. 55两边长分别为2.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为(

) A.3103

cm

B.

cm 33163203C.

cm

D.

cm 33答案

D 1解析

设圆锥的高为x cm，则底面半径为202－x2

cm.其体积为V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，31203203203V′＝π(400－3x2).令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去).当0＜x＜时，V′＞0；3333当203203＜x＜20时，V′＜0.所以当x＝时，V取最大值. 333.一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为________元时可获得最大收入. 答案

1 800 解析

设x套为没有租出去的公寓数，则收入函数f(x)＝(1 000＋50x)(50－x)－100(50－x)，∴f′(x)＝1 600－100x，∴当x＝16时，f(x)取最大值，故把月租金定为1 800元时收入最大. 4.某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨. 答案

30 900900解析

设总运费与总存储费之和为y万元，依题意y＝×4＋4x＝4x＋x≥240，当且仅x当900＝x，即x＝30时，两种费用之和取最小值. x5.制作容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料. 答案

4 解析

设底面边长为x，高为h，则V(x)＝x2·h＝256，

4×256256256∴h＝2，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·2＝x2＋，

xxx4×256∴S′(x)＝2x－.令S′(x)＝0，解得x＝8，

x2256∴h＝2＝4. 8

1.解应用题的思路方法：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定答案. 2.解决最优化问题首先要确定变量之间的函数关系，建立函数模型.要熟记常见函数模型，如二次函数模型、三次函数模型、分式函数模型、幂指对模型、三角函数模型等. 3.除了变量之间的函数关系式外，实际问题中的定义域也很关键，一定要结合实际问题的意义确定定义域.

一、选择题

11.一质点做直线运动，由始点起经过t

s后的位移为s＝t4－4t3＋16t2，则加速度最小的时刻4是(

) A.0 s末与8 s末

C.4 s末

答案

C 解析

∵v＝s′(t)＝t3－12t2＋32t，a＝v′(t)＝3t2－24t＋32＝3(t－4)2－16，

∴当t＝4时，加速度最小. 2.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长和宽各为(

) A.16 m,16 m

C.32 m,8 m

答案

B 解析

如图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为512512

m，因此新墙总长度L＝2x＋(xxxB.32 m,16 m D.16 m,8 m B.8 s末

D.0 s,4 s,8 s末

512512＞0)，L′＝2－2.令L′＝2－2＝0，得x＝16或x＝－16.∵x＞0，

xx

512∴x＝16.∵L在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴它必是最小值点.∵x＝16，∴＝32.故当堆x料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省. 3.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(

)

l3A.6π

l3C.4π

答案

A l3B.3π

1l3D.π

44l－4rl解析

设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr222l00，

6l∴r＝是其唯一的极值点. 6l3l∴当r＝时，V取得最大值，最大值为6π.

64.用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为(

) A.120 000 cm3

C.150 000 cm3

答案

B x解析

设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm). 2x3水箱容积V＝V(x)＝xh＝60x－

(0

D.158 000 cm3

3V′(x)＝120x－x2.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.可判断得x＝80 cm时，V取最大值2为128 000 cm3. 5.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(

) 3A.3 cm2

2C.32 cm2

答案

D 解析

设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝3233x＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥23(cm2)，故选D. 442B.4

cm2

D.23 cm2

6.某公司生产一种产品，

固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若3x－＋400x，0≤x≤390，总收入R与年产量x的关系是R(x)＝90090 090，x>390，

则当总利润最大时，每

年生产产品的单位数是(

) A.150

B.200

C.250

D.300 答案

D 解析

由题意得，总利润

x－900＋300x－20 000，0≤x≤390，P(x)＝

70 090－100x，x>390，令P′(x)＝0，得x＝300，故选D. 二、填空题

7.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________. 答案

3 27解析

设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝2，要使用料最省，R27只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，

R54π∴S′(R)＝2πR－2＝0，∴R＝3，则当R＝3时，S表最小. R1398.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，32则其速度应定为________. 答案

40 解析

由题设知y′＝x2－39x－40，

令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，

139故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减.∴当x＝40时，y取得最32小值. 由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40. 9.用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为________时容器的容积最大. 答案

1.2 m 1解析

设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5) m，高为[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.24－2x) m.由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6.设容器容积为y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1.在定义域(0,1.6)内，只有x＝1使y′＝0.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0).因此当x＝1时，y取最大值，且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高3

为1.2 m. 10.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计).

答案

6

3 k解析

设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数.依题意，即所ab30－ak求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝.于是y＝＝ab2＋ak2＋ak＝(0

30a－a22得a＝6或a＝－10(舍去). ∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点. 当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 三、解答题

11.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

解

(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，

m即n＝－1. x所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x

mm＝256x－1＋x(2＋x)x

＝256m＋mx＋2m－256. x

256m11m3(2)由(1)知，f′(x)＝－2＋mx－＝2(x－512). x222x23令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64. 2当0

当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值. m640此时n＝－1＝－1＝9. x64故需新建9个桥墩才能使y最小. 12.某造船公司年造船量为20艘，已知造船x艘的产值函数R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5 000(单位：万元)，在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x). (1)求利润函数P(x)及其边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本) (2)年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么. 解

(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5 000(x∈N*，且1≤x≤20).MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3 275(x∈N*，且1≤x≤19). (2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9).因为x＞0，所以P′(x)＝0时，x＝12.所以当0＜x＜12时，P′(x)＞0，当x＞12时，P′(x)＜0，所以当x＝12时，P(x)有最大值，即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大. (3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3 275＝－30(x－1)2＋3 305，所以当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调递减区间为[1,19]，且x∈N*，单调递减的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘比较，利润在减少. 13.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数13解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0＜x≤120).已知甲、乙两地相距100 km. 128 00080(1)当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少？

(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

13100×403－×40＋8解

(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(h)，要耗油80128 00040×2.5＝17.5 (L). 故从甲地到乙地耗油17.5 L. 100(2)当速度为x km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了

h，设耗油量为h(x) L，依题意得

x131001800152x3－x＋8·＝h(x)＝x＋－(0＜x≤120). 80128 000x1 280 x4

33x800x－80h′(x)＝－2＝(0＜x≤120). 640x640x2令h′(x)＝0，得x＝80，

当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；

当x∈(80,120]时，h′(x)＞0，h(x)是增函数. 故当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(L). 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值. 故以80 km/h的速度匀速行驶时，耗油最少，为11.25 L.