习题4.1教学设计与反思

4、1、1 圆的标准方程

一、教学目标：

1）.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力. 2）.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力. 3）.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美. 二、教学重点难点：

教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确. 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 三、课时安排：

1课时

四、教学设备：

圆规、直尺。

五、教学过程：

一）新课引入：

师：上章我们在直角坐标系中研究了直线的方程，这节课我们将在直角坐标系中进一步来研究圆的标准方程。说道圆，大家并不陌生，在初中的时候接触过圆，而在生活中也经常接触圆的。8月15日过中秋节，中秋节花好月圆，圆给人的感觉是完整美好的。这节课，我们将学习这个美好的图形。

回忆一下，圆在初中的时候是怎样定义的。

圆是什么图形啊？

生：平面图形，

师：那是怎样定义的。

生：平面内，到定点的距离等于到定长的点的轨迹，定点是圆心，定长是半径。（板书并且分析圆的定义，圆上任意一点和圆心的距离等于半径）{画图分析} 二）新课讲解。

师：好，我们很熟悉圆的定义了，我的问题是结合前面的知识

已知圆上任意一点M（x,y），圆心坐标A

（a,b），半径是r，求圆的方程。（板书）。

这里是求圆的方程，也就是求方程问题，那求方程的一般步骤是什么？

圆的标准方程

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生：建系、设点、列式、化简。

师：首先建系，这里建立了。然后设点，设点有什么要求。

生：设圆上任意一点。

师：设圆上任意一点，要强调任意性。接着就是列式怎么做呢？就是找出圆上点的性质或点满足什么条件的过程。定义中是怎么说的。

生：平面内，到定点的距离等于到定点的点的轨迹。

师：也就是│MA│=r。好，我们来看一下。

解：设圆上任意一点M（x,y）。

（开始板书）

根据圆的定义知(xa)2(yb)2r.化简：(xa)2(yb)2r2.

我们来看一下：圆上任意一点M的坐标（x,y），由上面的证明知道，满足这个方程;并且(xa)2(yb)2r2的解为坐标的点（x,y）满足│MA│=r，即方程解为坐标的点在圆上。所以我们把(xa)2(yb)2r2.称作为以圆心为（a,b），半径为r的圆的标准方程。（板书）。

由证明知道圆上任意一点的坐标满足圆的标准方程，所以判断一点是否在这个圆上，怎么办？

生：把点的坐标带入方程中看方程左右是否相等，相等就在圆上。

师：好，也就是看点的坐标是否满足圆的方程。好，我们看到方程，看到这个结果后我们是否发现方程的确具有对称性？左边平方，平方；右边也是平方。很漂亮的一种形式吧。通过这个方程，我们一目了然知道圆的半径是r，圆心横坐标是a,纵坐标是b。以后一旦看到这种形式，就要一下子反应出圆心和半径是多少。

例一：①：x2y21

②(x2)2(y1)25.

解：①圆心（0,0），半径：1.。

【像这种圆心是圆点（0,0），半径是1的圆叫做单位圆，（板书）。所以以后提到单位圆就要快速反应出标准方程，以及圆心坐标为（0,0），半径是1.】。

②圆心（2，-1），半径为5。

师：好，标准方程记住没有。怎样求圆的标准方程呢？只要给出圆心的坐标和半径。那么就是x减去圆心横坐标的平方加上y减去圆心纵坐标的平方等于等于半径的平方。很好记忆的吧！下面我们迅速来练几个题

例二：写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的方程。并判断M1(5,7),M2(5,1)是在这个圆上。（板书）

解：(x2)2(y3)225。M1(5,7)

带入方程(x2)2(y3)225中，方程左边等于右边，而M2(5,1)带入方程(x2)(y3)25中，发现方程左边圆的标准方程

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不等于右边。所M1在圆上，而M2不在圆上。

师：好，这是这一题。我们看下一题。

例三：△ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7，-3),C(2，-8),求三角形的外接圆的方程。

这里知道圆的圆心，半径是什么吗？

生：不知道。

师：不知道，就不能直接做了。那怎么办呢？我们知道：三角形的外接圆，知道三角形的三个点在圆上，也就是三个点的坐标满足圆的标准方程。三个点坐标带入方程中就有三个方程，三个方程能不能求出三个未知数啊？

生：能。

Y 师：解：设方程(xa)2(yb)2r2.

因为A(5,1),B(7，-3),C(2，-8),在圆上，

(5a)2(1b)2r2∴(7a)2(3b)2r2

(2a)2(8b)2r2O B C A X ∴a=2,b=-3,r2=25 ∴外接圆方程为(x2)2(y3)225.

师：这种先设需要方程，后把点的坐标带入方程中，列方程组，求解的方法叫做待定系数法。

师：刚才学了判断点在圆上是怎样判断的？

生：把点的坐标带入方程中看方程左右是否相等，相等就在圆上。

师：好那点在圆外（圆的外部）和圆内（圆的内部）又是怎样的情况呢？我们来看一下。

M M M O

O O

d

d=r (xa)2(yb)2r2.

d>r (xa)2(yb)2r2.

师：直角坐标系中，已知点M（x,y），和圆(xa)2(yb)2r2.的位置关系：

圆的标准方程

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圆的标准方程

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