6.3 函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图像与性质教学设计及教案分析

函数

y＝Asin(ωx＋φ)

的图像与性质（第一课时）

宁夏六盘山高级中学

杜英兵

一、教学内容解析

1．教材地位

函数yAsin(x)是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在本章中是重点内容，在数学和其他领域中具有具有十分重要的应用．本节课通过揭示参数A、、对函数yAsin(x)图像的影响，让学生有助于进一步深化对函数图像变换的理解，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型，是发展学生数学学科核心素养，培养学生的理性思维、创新意识和实践能力的重要载体．

2．教学任务

本节课主要通过“五点法”作图，探讨函数yAsin(x)的图像与函数ysinx的图像之间的关系．图像是由点构成的，图像变换的实质是图像上点的变换，因此，欲研究函数图像的变换规律，只需研究图像上每个点的变化规律．

本节课教学设计是先分别探讨A对函数yAsinx(A0)、对函数最后探究ysin(2x1)的图像和函数ysin2x的ysinx(的图像的变化规律，)图像之间的变化规律．其中，对ysin(x)的图像的变化规律的探讨方法可以迁移到后续问题解决中去．

3．教学重点

探讨A、对函数yAsinx(A0)、ysin(x)图像的变化规律．

二、教学目标设置

1．本节课借助flash动画和几何画板动态演示三角函数图像，探索并发现A对函数yAsinx(A0)图像及φ对函数ysin(x)图像的变化规律，让学生进一步了解三角函数图像各种变换的实质，并能够从中掌握函数图像变换的规律．

2．学生经历A对函数yAsinx(A0)、对函数ysin(x)图像变化规律

1

的探究过程，培养学生数学发现能力和抽象概括能力；在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，自始至终渗透了数形结合的思想．

3．通过三角函数图像变换规律的探求，培养学生的认知策略，发展元认识，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度，培养学生的数学核心素养．

三、学生学情分析

本节课课型为新授课，授课对象是高一学生，他们利用“五点法”画出正弦曲线、余弦曲线的图像，利用图像研究了他们的性质，掌握了三角函数周期性等相关知识，这为学生学习函数yAsin(x)的图像与性质奠定了基础．

本节课的教学难点：（1）利用“五点法”画出函数ysin(x)和ysin(x)46的简图；（2）函数ysin(2x1)的图像和函数ysin2x的图像之间的关系．

四、教学策略分析

为了突破教学难点，呈现知识的发展过程，利用flash和几何画板软件辅助教学，充分发挥其直观和动态优势，可以对图像上每个点进行分析，引导学生逐步形成对函数yAsin(x)图像的理解．该探讨方法可以迁移到其他函数的图像，有利于学生理解函数图像变换的数学本质．

五、教学过程设计

2 设置情境，联想中引入

方法探求，研讨中获取

知识构建，合作中生成

以问题为载体，以活动为主线

演练提升，思考中深化

课堂小结，回顾中提炼

课后训练

巩固中拓展

（一）设置情境，联想中引入

借助摩天轮动画、简谐运动动画创设情境，引出刻画自然界周期现象的重要函数模型yAsin(x)．

形如yAsin(x)的函数在生活中经常可见，如弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移满足yAsin(x)，如图所示．再比如潮汐现象中水位的高度、单摆中的摆角等也满足这个解析式，因此今天我们来探讨这个函数，为了探讨方便，这里A0,0．

设计意图：1．通过生活中的摩天轮引出学生已经学习过的函数模型ysinx，唤起学生的回顾与思考，然后通过动画演示三个参数A、、对函数yAsin(x的改变，这样从数学内部提出问题，并辅以丰富生动的现实背景，)突出数学内部的发展规律，尽快让学生进入数学思考，相对于仅从现实生活背景突出问题，似乎更胜一筹；2．结合物理学中简谐振动生成函数yAsin(x)创设问题情境，加强学科交叉联系，让学生体会到数学的应用价值．

（二）方法探求，研讨中获取

设问1：按照我们以往的经验，一般我们通过什么方法探讨函数的性质呢？

结论：函数的图像．

板书课题：函数yAsin(x)的图像与性质

设问2：显然，参数A、、取不同实数，我们就得到不同的函数yAsin(x)，进而函数图像也会发生变化，在这个大家庭中，有你熟悉的函数吗？

结论：有，是函数ysinx．

设问3：如何研究三个参数A、、对函数yAsin(x)图像的影响呢？

3

结论：分而治之各个击破，然后再综合分析．

1；若先研究A，令1，研究，令A1，研究，令A1，即0；0．分别研究函数yAsinx、函数ysin(x)、函数ysinx的图像．

设计意图：1．面对一个新的数学问题，让学生去设计研究方案，重在引导学生思考解决问题的方法；2．通过概括和提炼，将学生的意识上升到“分而治之”的简单化思想层面，让学生明确“从特殊到一般”的探究方法，也为具体探究做好了铺垫．

（三）知识构建，合作中生成

1．探究参数A对函数yAsinx(A0)图像的影响．

通过设问，引导学生从特例入手，令A1，得正弦函数ysinx，令A2，得函数y2sinx．然后画出它们的图像．

通过函数ysinx图像“五点法”作图入手，师生共同探究画出函数y2sinx图像的方法，并通过观察它们的图像，发现两函数图像之间的关系：函数y2sinx的图像可以看作是将ysinx的图像上每个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍而得到的．

1再令A，作出函数的图像. 通过观察三个函数图像，指导学生阅读教材，2讨论三个函数性质的相同点与不同点，可以看出：在函数yAsinx(A0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅．得出结论：一般地，函数yAsinx(A0且A1)的图像，可以看作将函数ysinx的图像上每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1）为原来的A倍而得到的．

4

设计意图：1．通过flash画板动态演示，较为直观地呈现参数A对图像的影响，学生能够比较容易得出感性认识，加深对振幅变换的理解；2．贯彻由特殊到一般、先猜想后验证的思想；3．以“五点法”作图为基础，注意在研究过程中提炼基本方法和程序，总结结论和规律，为学生后面的探究积累经验，提供示范．

2．探究参数对函数ysin图像的影响．

（x+）引导学生继续从特例入手研究φ，φ分别取和，得到函数ysin(x)和446和函数ysin(x)，并探究它们的函数图像．

6在例2中，师生共同探究如何画出函数ysin(x)的图像，特别注意如何找4出“五点法”中的关键点，再让学生合作探究画出函数ysin(x)的图像，并通6过展台展示学生研究成果，学生分享研究心得．

π实践操作

画出函数ysin(x)的简图．

6解

（1）列表

（2）画图

(教师利用几何画板在同一个直角坐标系中画出函数ysinx)和4

5

ysin(x)的图像进行验证，从“形”的角度观察发现，把函数ysinx的图像6向左平移个单位长度就可以得到函数ysin(x)的图像；把函数ysinx的图44像向右平移个单位长度就可以得到ysin(x)的图像，指导学生通过函数图像

66分析三个函数性质的相同点和不同点．通过例2的分析看出：在函数ysin(x+)中，决定了x=0时的函数值，通常称为初相，x为相位．

最后，教师通过几何画板动态演示，得出结论：把函数ysinx图像向左（φ>0）或向右（φ<0）平移个单位长度，就可以得到函数ysin(x+)的图像，即“左加右减”的平移规律．

设计意图：1．师生共同研究，观察猜想，作图验证，从“形”“数”两个角度分析，再由特殊到一般进行推广，从而得出结论；2．让学生充分体验探究发现的过程，掌握分析问题、解决问题的方法；3．通过独立思考、小组讨论、总结汇报，强化学生的学习体验和迁移能力，提升学生的合作意识和沟通能力．

（四）演练提升，思考中深化

1．基础训练

1（1）为了得到函数ysinx的图像，只需将ysinx的图像上每个点（

）

6A．横坐标伸长为原来的6倍，纵坐标不变

1B．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变

6C．纵坐标伸长为原来的6倍，横坐标不变

1D．纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变

6答案：D

6

1（2）将函数y5sinx的图像上各点的纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变），5所得到的图像的函数解析式为（

）

11A．ysinx

B．ysinx

C．ysinx

D．y25sinx

255答案：B

（3）函数yf(x)的图像如图所示，则yf(x)的解析式可能是（

）

11A．ysin(x)

B．ysin(x)

2424

C．y2sin(x)

D．y2sin(x)

44

答案：D 设计意图：1．巩固学生对振幅A、初相的理解；2．学会获取图像信息，巩固数形结合的数学思想；3．培养学生逆向思维能力，并为后面拓展训练中提出的问题奠定基础．

2．拓展训练

ππ（1）如何由函数ysin(x)的图像得到函数ysin(x)的图像? 64（2）如何由函数ysin2x的图像得到函数ysin(2x1)的图像? 设计意图：1．学生通过合作互助，加深对平移问题本质的认识；2．教师借助“换元思想”提升问题的层次意识，实现突破难点．

3．课外探究

如何由函数ysinx的图像得到函数y2sin(2x1)的图像? 设计意图：1．回归到本节课开始的问题情景，指导学生课后思考如何由函数ysinx的图像得到函数y2sin(2x1)的图像，最终实现函数ysinx的图像得到函数yAsin(x)的图像，使之体验成功喜悦；2．为下一课时探讨对函数yAsin(x)图像的影响拉开序幕，实现“为理解而学”的建构主义核心目标．

（五）课堂小结，回顾中提炼

1．与学生互动

本节课你有哪些认识与体会?

7

2．与学生共同归纳

今点“明”言

三角图像颜值高，相位振幅变换巧；

都说五点作图好，缘于化归思想妙．

设计意图：通过小结对本节课的教学内容进行梳理和概括，在掌握知识的同时学会研究的方法，体会其中蕴含的数学思想．

（六）课后训练，巩固中拓展

1．阅读课本：第97~102页；

2．课后练习：课本第100页练习6.3（1）第1题（1），第102页练习6.3（2）第1题（1）. 设计意图：巩固所学，拓展提升，各有所得．

六、板书设计

七、教学设计说明

x)，教师指导学生与函数本节课从生活实例入手得出函数yAsin(ysinx的进行对比，发现它们的共同点与不同点，激发了学生的研究兴趣，这种在情境中进行联想顺应了学生的认知规律.与学生合作探究A、φ对函数yAsin(x图像的影响，并在此基础上，设计了两个拓展训练题，从一个参)数对函数图像的影响升级为两个参数对函数图像的影响，步步深入，逐渐生成．知

8

识构建的过程是根据学生已有经历，通过观察猜想，理性分析，得出结论．让学生在探究知识的同时，体会从特殊到一般，从简单到复杂的数学思想，从而掌握分析问题和解决问题的方法．

建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授获得的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的．本节课教学设计关注学生的学习兴趣，注重学生已有的学习经验，引导学生主动参与、乐于探究，鼓励学生用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维，鼓励学生对出现的不同结论进行探讨，找出问题的正确答案，有利于培养学生的学习积极性，有利于培养学生的思维能力，教师通过问题探究的形式，及时抓住学生的想法适时引导，有效驾驭课堂，把课堂还给学生共同完成问题探究．

9