习题2.3教案2

探究双曲线y=的几何性质的教学设计

温州市瓯海二高 王克雄

1x一、教学内容分析

本节课是新课标高中数学人教A版选修2-1中第二章《圆锥曲线与方程》第三节（2.3双曲线）的课后拓展。

本节课是在学习了圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质以及圆锥曲线的统一定义之后进一步探究非标准方程下的双曲线y=1的几何性质，是对非标准方程下的双曲线的定义、x简单几何性质等已有知识的深入探究。通过与标准方程下的双曲线的定义、简单几何性质进行类比，进一步感受“数形结合”的基本思想，培养学生利用合情推理进行学生化归与转化的能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、学情分析

因为本节课是在学习了圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质以及圆锥曲线的统一定义之后进一步探究非标准方程下的双曲线y=1的几何性质，所以学生已经初步具备利用坐x标法探究解析几何的基础，能够利用“数形结合”的思想，通过代数的方法去研究一些简单的几何问题，同时也具备了一定的运算能力。

学生是教学的主体,要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我创设问题情景，以非标准方程下的双曲线y=1为载体，x引导学生由浅入深，层层推进，对非标准方程下的双曲线y=1的几何性质逐一进行探究。通过提出问x1进行类比,通过合情x题、启发学生的思维, 巧妙将标准方程下的双曲线与非标准方程下的双曲线y=推理，以及对双曲线标准方程下焦点与准线的特点的再认识，找到解决问题的关键，从而突破难点。通过对一个个问题和课堂练习的探究活动,投影学生解答、老师点评等方式来加深理解,突出重点，提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权，培养学生学习数学的兴趣。

三、教学方法与手段

本节课我采用多媒体辅助教学，利用几何画板软件，制作动画生动再现双曲线的定义，采用启发式教学，创设问题情景，一步一步启发学生的思维。

四、教学目标

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（1）知识与技能

1、理解非标准方程下的双曲线y=1的几何性质

x2、体会非标准方程下的双曲线与标准方程下的双曲线的几何性质的异同。

（2）过程与方法

利用合情推理的方法，将双曲线y=1与标准方程下的双曲线的几何性质进行类比、得到双曲线y=x1的几何性质，培养学生的“数形结合”、“化归与转化”的能力。

x（3）情感、态度与价值观

通过对双曲线y=1的几何性质的探究，培养学生探究的意识和严谨的思维品质。

x五、教学重点与难点

重点

：双曲线y=1的几何性质的探究

x1的焦点坐标与准线方程的探究

x1与标准方程下的双曲线的几何性质进行类比，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题。

x难点

：双曲线y=关键：将双曲线y=六、教学过程设计

教学环节

创设问题

情景，引

出新课

教师活动

右图可能是什么曲线？可能是哪个函数的图像？

学生活动

观察、回答

设计意图

通过创设问题情景，激发学生的好奇心，引入新课

师生共同

探究，构

建新知

问：对于标准方程下的双曲线，我们从哪几个方面研究了它的几何性质？

师：启发学生从上述方面逐一回答，并对学生的回答进行补充、点评

问题一：类比标准方程下的双曲线的几何性质，从范围、对称性、顶点坐标、渐近线

口答：范围、对称性、顶点坐标、渐近线、实轴、实轴长、虚轴、虚轴长、准线方程等

通过提出问题，复习旧知识，为新课做铺垫

口答

1、

范围 x≠0,y≠0 2、

对称性 关于原点成中心对称，关于通过提出问题, 巧妙将标准方程下的双曲线与非标准方程下的双曲线第2页（共5 页）

等方面逐一回答双曲线y=1的几何x性质。

师：启发学生从上述方面逐一回答，并对学生的回答进行补充、点评

直线y=±x成轴对称图形

3、

顶点坐标 A(1,1),B(-1,-1) 4、

渐近线 x轴与y轴

y=1进行类比,通过合x1的范围、对称x情推理引导学生由浅入深，层层推进，将双曲线y=

问题二：如图所示，双曲线y=实轴长是22

生：过点A作直线AB实轴是哪条线段？实轴长是多少？的垂线分别交X轴、Y如何作出它的虚轴？虚轴长是多轴于点A1、A2，过点B少？

作直线AB的

师：点评。实轴长与虚轴长相等的垂线分别交X轴、Y轴1双曲线叫等轴双曲线，双曲线y=

于点B1、B2，连接A1B2x交直线Y=X于点D，连的实轴长与虚轴长相等，所以双曲接A2B1交直线y=x于点1线y=也是等轴双曲线。

C，

x则线段CD是它的虚轴，虚轴长是22

1的x生：实轴是线段AB，性、顶点坐标、渐近线几个简单的几何性质逐一进行探究。

引导学生由浅入深，层层推进，对双曲线y=1的实轴与虚轴进行x探究。同时通过老师的点评，的出双曲线y=1也是等轴双曲线，x为下面探究双曲线y=1的离心率作铺垫。

x

问题三：双曲线y=1的离心率是多x思考、回答。e=2

引导学生对双曲线y=少？

师：启发学生思考标准方程下，等轴双曲线的离心率

1的离心率进行探x究，同时为探究双曲线y=1的焦点坐标作铺x垫。

问题四：双曲线y =1的焦点坐标x思考、回答。因为a=b=2,所以c=2,又因为焦点在对称轴y=x上，

所以焦点坐标是

E（2，2），

F（-2，-2）

是什么？

师：启发学生思考标准方程下双曲线的焦点在什么位置，焦点到原点（对称中心）的距离与c有什么关系?

通过启发学生类比标准方程下双曲线的焦点在双曲线的对称轴（x轴或y轴）上，且焦点到原点（对称中心）的距离等于c；引导学生对双曲线y=1的焦点坐x练习：已知点P是双曲线y=1图像x思考、口答

标进行探究，从而突破难点。

加深双曲线定义的理解，同时体验成功的的第3页（共5 页）

上的任意一点，E（2，2）,F（-2，-2）,则||PE|-|PF||= （ ） 。

师：点评、动画演示

问题五：类比双曲线喜悦

x2y21(a0,b0)

有准线方a2b2a2程x

，c1你能得出双曲线y=的准线方程x吗？

师：点评（双曲线的准线的特点），启发学生思考双曲线生：思考、动笔试一试，口答

xy2

通过启发学生类比标准方程下双曲线的准线与双曲线的对称轴的垂直，且原点到准线的距a2离是，

引导学生c1对双曲线y=的准线x方程进行探究，得出双曲线y=x2y221(a0,b0)

的准线有2ab什么特点？1、准线与对称轴的关系（垂直）；2、原点到准线的距离是1的准线方x程，从而突破难点。

a2多少？（）

c

巩固练习，

开拓思维

练习：设M是双曲线y=任意一点，

则点M到点E（2，2）与到直线xy2的距离的比值为 。

师：点评，根据圆锥曲线的统一定义，比值为双曲线的离心率，说明点（2，2）是双曲线y =1图像上的x思考、动笔试一试、口答。

通过练习进一步理解圆锥曲线的统一定义，同时与前面双曲线y=1x的几何性质相呼应，加深对它的焦点坐标与准线方程的理解，突破难点。

1的x归纳小结，理论提升

焦点，xy2是与之对应的准线方程。

师：本节课，我们通过类比的方法，对双曲线y=思考、口答

1的几何性质进x1的几何x思考，课后完成。行了探究。下面请同学从基本方法、数学思想、双曲线y=通过学生小结一方面可以培养他们的归纳、概括的能力，另一方面也能优化知识结构。

拓展思维 性质三方面回顾本节课的内容。

师：点评、补充

思考题：若将直角坐标系按逆时通过对非标准方程下的双曲线与标准方程下的第4页（共5 页）

1针旋转45度，则双曲线y=的方x程是什么? 师：点评、补充。

根据今天所学的知识,采用类比的方法探究完成双曲线x2y21

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双曲线的方程之间的转化，完善知识结构，体会两者之间的异同。

布置作业，

优化知识结构

yk(k0)的几何性质。

x师：批改，查漏补缺

思考，完成课后作业。

通过课后作业举一反三进一步巩固所学方法，同时也是完善双曲线的几何性质，优化知识结构。

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