3.1.2 导数的概念教学设计与反思

高二数学选修1—2

§1.1.2 《导数的概念》

教

案

设

计

汨罗市二中

许文胜

2017年11月4日

§1.1.2 导数的概念

三维目标：

1. 知识与技能：

通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；

2.

过程与方法：

（1）通过观察培养学生的分析、比较和归纳能力；

（2）通过问题的探究体会逼近、以未知探求已知、从特殊到一般的数学思想方法；

3.

情感、态度与价值观：

通过运动的观点体会导数的思想及其内涵，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律地方重要过程。

教学重点：导数概念的形成，导数内涵的理解

教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵

教学程序：

一、设置情景 引入课题

（播放视频《飞越黄河》）

师：汽车能飞越黄河 关键取决于什么？

生：瞬时速度. 师：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.怎样求瞬时速度呢？这节课我们就来学习它的求法. (板书课题：导数的概念) 师：我们先来回顾上节的内容，

二、知识回顾

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)4.9t26.5t10. 计算：

1. 运动员在1t2这段时间里的平均速度v= -8.2m/s

2. 运动员在区间2t，2的平均速度v= -4.9Δt-13.1 3. 运动员在区间2，2t的平均速度v= -4.9Δt-13.1 （学生上黑板写一个）

三、问题导学 探究新知

师：设Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0，如Δt=-0.01时，

v=-13.051，Δt=-0.001时，v=-13.0951，当Δt取不同的值时，可得到不同

2

的平均速度。

观察：观察下列表格中的数据，当Δt趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？

（学生思考，阐述想法）

Δt<0时，在区间2t，2这段时间内

Δt>0时，在区间2，2t这段时间内

h(2)h(2t)4.9t213.1tv

2(2t)t4.9t13.1h(2t)h(2)4.9t213.1tv

(2t)2t4.9t13.1△t = -0.01时, v= -13.051 △t = -0.001时, v= -13.0951 △t = –0.0001时, v= -13.09951 △t = 0.01时,

v= -13.149 △t = 0.001时, v= -13.1049 △t = 0.0001时, v= -13.10049 △t = –0.00001时, v= -13.099951 △t = 0.00001时, v= -13.100049 △t = –0.0000001-13.0999951 ……

时, v= △t = 0.0000001时, v= -13.1000049

……

生：当t=2，Δt趋近于0时，平均速度趋近于一个确定的值-13.1（板书）. 师：我们刚才从“数”的方面感受了平均速度的变化趋势，下面再从“形”上来感受一下. （请两位学生上台从t=2的左、右两边进行演示，师提醒学生学生注意平均速度的变化情况）

师：当点B分别从点A的左右逼近时，平均速度就无限逼近t=2时的瞬时速度，所以运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s.（板书：逼近）

为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示，即

h(2t)h(2)lim13.1（板书）

t0t表示“当t=2，Δt趋近于0时，平均速度趋近于确定的值-13.1”. 师：

其一、lim: 英语单词limit(极限)的前三个字母

h(2t)h(2)h(2t)h(2)其二、表示t=2附近的平均速度，lim就是t0tt当Δt h(2t)h(2)趋近于0时的极限值；当Δt→0时，平均速度的极限值就是瞬时t

3

速度（板书）

h(2t)h(2)lim(4.9t13.1)13.1

t0t0t其四、探究t=2的瞬时速度的过程体现了“逼近”的数学思想。

练习1：（学生上黑板写答案）

1.上例中，高台跳水运动员在t=1s的瞬时速度用符号表示为其三、limh(1t)h(1)，在t0tlimh(t0t)h(t0). t0tlimt=t0时刻的瞬时速度用符号表示为2. 回顾气球膨胀率问题，气球在体积V0附近的平均膨胀率表示为r(v0v)r(v0)，

v那么气球在体积为V0时的瞬时膨胀率可以表示为limh(v0v)h(v0)

v0v师：当Δv→0时，平均膨胀率的极限值就是瞬时膨胀率（板书）

探究：如果将这两个变化率问题中的函数用f(x)表示，那么函数f(x)在xx0处的瞬时变化率怎样表示呢？

（学生思考、探讨）

师总结：（板书导数的概念）

函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率，又称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作：f(x0)或yxx，即 0f(x0)yxxlim0f(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x师：

其一、导数就是瞬时变化率，也是平均变化率的极限值

其二、当Δx→0时，平均变化率的极限值就是瞬时变化率，即导数，要求瞬时变化率应先求平均变化率（板书）

其三、要求函数f(x)在x1时的导数就只要将定义中的x0用1替代

其四、定义的探究过程体现了“从特殊到一般”的数学思想.

练习2：用导数的定义求函数y = x2

+ 1在x1处的导数.

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略解：f(x0)lim所以，f(1)2

x0f(x0x)f(x0)lim(2x0x)2x0

x0x

思考： 你能由导数的定义, 归纳出求函数f (x)在x = x0处的导数的一般步骤吗？

（学生思考后回答）

1. 求函数的增量yf(x0x)f(x0)

yyf(x)lim02. 求平均变化率 3. 计算极限

x0xx一差、二比、三极限 （板书、投影）

四、典型例题

巩固定义

例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第x

h时候，原油温度（单位：c）为f(x)x27x15(0x8). 计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义. (给充分时间由学生自主完成,老师点评) 分析：瞬时变化率就是导数.

解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6). 根据导数的定义，

yf(2x)f(2)4x(x)27x

yf(2x)f(2)4x(x)27xx3xxxff(2)limlim(x3)3.所以，

x0xx0同理可得 f(6)5

在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3oC/ h的速率下降；

在第6h附近,原油温度大约以5 oC / h的速率上升. 五、拓展提升

视频《飞越黄河》中，汽车路程对时间的函数是s(t)=t2

，要使汽车腾空时的瞬时速度达到 40m/s ，那么汽车的助跑距离至少是多少？

解：设汽车腾空时的时间为t0，根据导数的定义，

2sf(t0t)f(t0)(t0t)2t02t0t(t)2

sf(t0t)f(t0)2t0t(t)22t0ttttss(t0)limlim(2t0t)2t0.t0tx05

所以，

当2t0 = 40时，t0 = 20， 所以s(20)=202=400m. 答：汽车的助跑距离至少是400m. 五、课堂小结

（请学生小结，在老师总结）

一个概念：导数的概念

两个思想：逼近、从特殊到一般

三个步骤：求导的步骤：一差二比三极限

六、作业

1. 一球沿一斜面自由落下，其运动方程为

s(t) =t2（位移单位：m,时间单位：s），求小球在t=5时的瞬时速度，并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较. 2. 习题3.1 第2、3题

七、板书设计

§1.2.1 导数的概念

一、函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率，又称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作：f(x0)或yxx即 0f(x0x)f(x0)ylim

0x0xx0xyy二、求导步骤：（1）求y；（2）求；（3）求lim

x0xxf(x0)yxxlim三、

数学思想：逼近

从特殊到一般

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