习题3.2教案1

利用空间向量求角教学设计

滦南一中数学组 王晓静

一、教学内容分析

本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2---1》人教A版）第三章第二课时，主要讨论的是用空间向量处理立体几何问题。在此之前安排了空间向量及其运算这一节，将向量由二维拓展为三维，为学生学习本节知识作了必要的铺垫。立体几何中的向量方法既是前面内容的延展与深化，又是代数与几何知识的交汇点，产生了一种解决几何问题的新视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。同时它也体现了新课程标准中提出的“注重提高学生的数学思维能力”的课程基本理念。

二、学情分析

基础知识方面：对普高高二的学生来说，已学习了《必修二》中传统方法解立体几何题的基础知识之后而学习。由于利用传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力。学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，尤其是向量用坐标表示后，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算，有助于学生克服空间想象力的障碍而顺利解题。

认知水平与能力方面：学生已经具备初步的抽象概括能力、空间想象能力、逻辑思维能力，简单的知识融合能力和一定的知识综合应用能力，能在教师的引导下，通过自主学习、合作交流解决一些空间中图形的位置关系与度量问题。

任教班级学情：我班学生有较好的学习习惯，基础知识较为扎实，但是对平面的法向量与线面角、二面角的平面角之间的关系不很明确，如何选择恰当的位置建立空间直角坐标系不熟练，要准确计算某些特殊点的坐标有困难。

三、设计思想：

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“利用空间向量求角”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，活动时体现“主动”、“真动”、“全动”、“互动”，兴趣浓厚，气氛好，效果好。并能积极主动全面参与展示点评，培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。体现学生的主体地位，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神。

四、教学目标：

1.知识与技能：

1.进一步熟悉向量运算在几何证明与计算中的应用。

2.探索并掌握空间向量解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题。

2.过程与方法：

1.通过小组讨论，讲练结合等方法培养学生分析问题和解决问题的能力。

2.通过质疑，答疑的过程使学生能更灵活的运用空间向量来研究空间角。

3.情感、态度与价值观：

1

1.充分发挥自己在学习中的主体地位，引导学生观察思考、合作探究、归纳总结，促进形成研究氛围，享受合作的快乐. 增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。

2.重视知识的形成过程，通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。

五、教学重点与难点

教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用。

教学难点：利用空间向量求空间角。

教学易错点：（1）平面法向量n与直线方向AB所成角n,AB和直线与平面所成角之间的关系。

（2）两平面法向量n1,n2所成角和两平面所成角之间的关系。

（3）选择恰当的位置准确建立空间直角坐标系。

教学准备：制作多媒体课件，学生准备直尺。

五、教法与学法

根据教学内容和学生的实际情况，并突出以学生为主体，以学生主动学习为中心的新课程理念，以建构主义提倡的发现法、讨论法、自主归纳法来进行，并结合我校实际采用“三三三----五步导学法”的学案导学教学模式，注重知识生长点的建立．教师的教法突出活动的组织设计与方法引导；学生的学法突出对空间位置的探究、理解与应用，学生在合作探究与互动交流中获得本节课的知识与方法，并发展能力．

整个学习过程，可用下图示意：

自学导航

互动探究

巩固拓展

自主梳理、问题与困惑

问题探究、典例导析

课堂练习、反思总结

必做巩固、选做拓展

六、教学过程：

教学环节

情境设计和教师活动

学生活动

设计意图

2

【设问回顾，温故知新】

问题 1、异面直线所成角及其范围．

【重温教材、整理回顾】

学生课前完成及其范围．

导学案，重温教(两全3、二面角的平面角及材，完成小试身其美）

手中的第1，2，其范围．

4、求异面直线所成3，4，5,6个小角、线面角、二面角常用的问题.

传统方法有哪些．

创设情境

2、直线与平面所成角学生通过导学案重温旧知，让相关知识在学生脑中重现，做好课前准备.

复习

认真思考，回

从学生已有的知识入手，答问题

引入课题

探究新知

(万众一心)

探究一：求异面直线所成的

角

在解决立体几何中两

异面直线所成角的问题时，

首选向量法，利用向量

求解．若能构建空间直

认角坐标系，求解则更为简捷教师提出问题，真听取学生的答方便. 学生讨论问题例1:如图，四棱锥P－案，时巡视并和学生

ABCD中，底面四边形ABCD交流

是正方形，侧面PDC

是边长为a的正三

角形，且平面PDC⊥平面

ABCD，E为PC的中点．

求异面直线PA与

DE所成的角的余弦值．

让学生在具体问题中有针对性的翻阅教材，体验知识的重现过程，从而加深学生对基础知识的由来与理解.

探究二：求线面角

例2：[2014·福建卷]

在平面四边形ABCD中，AB

＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，

3

CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，

(1)求证：AB⊥CD；

(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正

学生认真思考、交弦值

流，积极回答问题

探究三

求二面角

学生自己经历讨例3：[2014·新课标全国卷Ⅰ] 论过程

典型例题的理

解常常能起到

事半功倍的效

果，你如何理

解这些题目？

三棱柱ABC -A1B1C1中，侧

面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.

(1)证明：AC＝AB1；

(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，

求二面角A

-A1B1

­C1的余弦值．

学生教师巡视并针对具体问

讨论

题给予具体指导。

讨论

通过讨论、合作探究，分析错因，寻求正确答案，既帮助后进生解决疑难问题，又通过纠正他人错误使尖子生对知识的理解更加透彻，使不同层次

的学生都有提高

引导学生进行梳理归纳；根据知识点间的内在联系，将零散的知识点串成线、形成给予评价和必要的深化拓展，并在重点和学生

总结

易错易混之处加以强调。并鼓励学生表现自

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己。

当堂检测

展示检测题目

学生自由回答

面，构建完整的知识网络。探究问题的内在规律，以培养学生

由此及彼的思维力。

巩固消化已学知识，验收学习效果，培养学生分析问题和解决问题能力及学以致用的能力，同时暴露学生学后存在的疑难问题，及时反馈信息加

强教学反思。

1、

布置作业

附：板书设计

新的导学案

当堂练习册

2、

解决空间角的向量方法

设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,的法向量分别为n1,n2，则

⑴设直线例题：（学生板演）

课堂练习：（学生板演）

例1

例2

例3

课堂总结：

l,m的夹角为，则cos ；

⑵设平面,的夹角为，则cos ；

⑶设直线l与平面的夹角为，则sin .

七：设计思路

通过设计导学案，给学生以提示应该思考的问题，学生理解教材后完成学案，并上交。老师批阅后发回，让学生重新认识自己的不足。为突出重点，突破难点，使学生能达到本节课设定的目标，根据本节课的内容特点，我采取了“三三三----五步导学法”的高效课堂教学模式，即“设境引入——自学互学——展示解疑——总结点评——反馈调控”的教学环节。根据学习情况，在合适的时机提出问题，设置合理高效的教学情境，让每一位学生都参与课堂讨论，并对自学互学的成果

5

进行展示，对展示过程中出现的问题和疑难，通过师生、生生之间的交流和碰撞得以解决。能用恰当的方法引导学生相互评价，小组之间质疑、产生高质量的对抗。同时引导学生知识梳理，总结概括，注重反思，共建激励机制，共享学习成果。调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

围绕教学目标而展开教学活动，其目标达成情况如下：

自主梳理

问题探究

典

例

导

析 课

堂

练

习

合作探究

课堂练习

合作探究

问题解决

知识目标1、2 知

识

目

标3 能

力

目

标

情

感

目

标

八：教学反思：

这节课我们解决了空间向量求角的通性通法。我采用探究式课堂教学模式，即学生通过学案引导，自读课本，初步完成学案。课堂在教师创设的问题情景中，通过对自学中未解决的问题进行讨论交流，并能提出质疑，学习方式多样，活动时体现“主动”、“真动”、“全动”、“互动”，兴趣浓厚，气氛好，效果好。并能积极主动全面参与展示点评，培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。让学生体会到用向量处理立体几何问题，尤其是向量用坐标表示后，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算，有助于学生克服空间想象力的障碍而顺利解题。

本课运用联系的观点，从多角度看待问题化多为一，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。

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