3.1.3 导数的几何意义教案3

高二数学

教案

课题：1.1.3导数的几何意义

【学习目标】

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题

【学习重点】曲线的切线的概念; 【学习难点】通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.

【授课类型】新授课

【教 具】

【学习方法】 【学习过程】

一、复习导数概念

定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作

主备人：

执教者：

f(x0)或y|xx0,

即:

f(x0x)f(x0)yf(x0)limlim.x0xx0x

二、

问题引领，知识探究

1、曲线上两点间的斜率（割线斜率）

如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点

,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角

则:MPx,MQy,ytan.x

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2.曲线的切线及切线的斜率

如图3.1-2,当P,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点n(xn,f(xn))(n1P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么？

[来源:学科网ZXXK]

图3.1-2 P即x0时,割线PPn趋近于我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点确定的位置, 这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题: (1)割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

(2)切线PT的斜率k为多少？

容易知道,割线PPn的斜率是kn接近点P时, kn无限趋近于切线PT的斜率k

f(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限xnx0f(x0x)f(x0)f(x0)

x0x说明: (1)当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. ,即klim这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; 2

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3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 3.导数的几何意义

函数yf(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x[来源:Zxxk.Com]说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)lim线在点

x0

f(x0x)f(x0)k得到曲x(x0,f(x0))的切线的斜率;【例题精析】

[来源:Z.xx.k.Com]

③利用点斜式求切线方程. 例1 求曲线yf(x)x21在点P(1,2)处的切线方程. [(1x)21](121)2xx2lim2

解: y|x1limx0x0xx所以,所求切线的斜率为2

因此,所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

变式训练1求函数y3x2在点(1,3)处的切线方程.

3x23123(x212)limlim3(x1)6

因为y|x1limx1x1x1x1x1所以,所求切线的斜率为6, 因此,所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x26.5x10, 根据图像,请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况. 解: 我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线, 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. (1)

当tt0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴, 所以,在tt0附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当tt1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0, 所以,在tt1附近曲线下降, 即函数h(x)4.9x6.5x10在tt1附近单调递减. (3)当tt2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0, 所以,在tt2附近曲线下降, 3

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即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减．

从图3.1-3可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢. 三、作业

见PPT

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