2.2.1 椭圆的标准方程教学实录

椭圆及其标准方程（第1课时）教学设计

一、教学内容解析

1．地位与作用：

本章是苏教版选修2—1的第二章《圆锥曲线与方程》，是高中数学解析几何的第二大部分。解析几何是数学中一个重要的分支，它联系了数学中的数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在前面的学习中中，学生已掌握了在平面直角坐标系下研究直线和圆的方法，本章教材进一步利用三种基本圆锥曲线深化代数与几何的关系。本章教材内容的顺序是：椭圆→抛物线→双曲线→曲线与方程。这样安排的用意是，先学圆锥曲线，再学曲线与方程，这样的顺序更有利于学生的学习，符合学生从特殊到一般，具体到抽象的认知规律。在圆锥曲线的学习过程中，不断的渗透曲线与方程的思想，为学生理解并掌握“曲线与方程”这一概念奠定了基础。

本节是苏教版选修2—1的第二章《圆锥曲线与方程》第2节的内容，主要学习椭圆的定义、标准方程及其简单的应用，分为两课时，本节课是第1课时，主要学习椭圆的定义及其标准方程。教材以椭圆为基础和重点说明了求方程并利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在认知抛物线和双曲线中得到了巩固和应用，因此《椭圆及其标准方程》这一节课起到了承上启下的作用。

2．教材处理顺序

教材在椭圆的定义这个内容的安排上是：先从直观上认识椭圆，再从画法中提炼出椭圆的几何特征，由此抽象概括出椭圆的定义，最后是椭圆定义的简单应用。这样的安排不仅体现出《课程标准》中要求通过丰富的实例展开教学的理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解。教材在本节内容中只研究了中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程，让学生自己去归纳焦点在y轴上的椭圆的标准方程。这样的处理给学生提供了一次探究和交流的机会。有利于学生对抛物线标准方程的理解，有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养。

3．数学思想方法

本节内容蕴含了：数形结合思想、转化化归思想等。在推导椭圆标准方程过程中让学生体会移项再平方去根号的方法。

二、教学目标和重难点

1．教学目标

（1）

知识与技能目标：①理解椭圆的定义；②掌握的椭圆的标准方程。

（2）

过程与方法目标：①在椭圆定义的获知和归纳中，进一步渗透数形结合的数学思想方法；②通过椭圆标准方程的推导过程，巩固用坐标化的方法求动点的轨迹方程，同时体会含有两个根式的化简思路。

（3）

情感、态度和价值观：①通过椭圆定义的归纳，培养学生发现规律，认识规律并利用规律解决实际问题的能力；②通过师生、生生合作学习，增强学生团队协作能力，增强主动与他人合作交流的意识。

2．教学重点

（1）

掌握椭圆的定义与相关概念；

（2）

掌握椭圆的标准方程。

3．教学难点

椭圆标准方程的推导。

三、学生学情分析

1．学生已有的认知基础

授课班级学生为高二年级学生。

椭圆是圆锥曲线中基础且重要的一种图形，在实际生活中经常遇到。学生在高一对解析几何有了初步的了解和认识，对于在平面直角坐标系下的点坐标及长度公式已掌握，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法。

2．学生存在的难点

学生在涉及到需要自己建立坐标系，再研究推导出方程仍是一个难点。且之前未接触过一个式子中含两个根式相加的情况，故化简是个问题。

3．突破策略

由教师引领学生观察所绘出的椭圆的特点，定点位置，从而建立合适的直角坐标系。

四、教学策略分析

1．内容突破策略

本节课新知内容分两大板块：一是总结概括出椭圆的定义；二是推导出椭圆的标准方程。针对第一板块内容，主要采取学生先动手画椭圆，在实践的过程中发现一些固定不变的量和量与量之间存在的关系，从而总结出椭圆的定义，并且

深刻领悟定义中所说的一些特别要求。针对第二板块内容，主要是采取教师引导，学生动手，通过一般的求动点轨迹的方法推导出椭圆的标准方程，符合学生的认知规律。

2．启迪学生思维策略：

在教学方法的选择上，采用教师组织引导，学生动手实践、自主探究、合作交流的学习方式，力求体现教师的引导者、合作者的作用，突出学生的主体地位。

五、教学过程

教学过程

一、创设情景，导入新课

设计意图

1．使学生对椭圆有一1．让学生观察几张生活中的典型图片，由此看出一个共同的数个感性认识，明白生活学图形“椭圆”。

2．大家还能举出生活中你所遇到的椭圆吗？

实践中有许多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力。

2．通过提问激发学生课堂上的学习兴趣。

二、椭圆的定义（分四个环节）

1．画一画（画椭圆）

1．给学生提供一个动手、动脑的学习机会；

①将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的2．学生可通过动手实中点使绳子绷紧，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是什么？

践的过程去体会“满足（由学生动手在黑板上进行演示，提高学生的动手能力，同时什么样的条件下的点激起学生学习本节课的兴趣）

的集合为椭圆”，从而②而将绳子的两端分别固定在两个定点上，笔尖勾直绳子，移对椭圆定义中的条件动笔尖，得到的是轨迹是什么？

有直观深刻的认识。

（教师提问，让学生动手，拿出提前准备好的毛线，两组同学

上黑板画，其他同学同桌合作在练习本上画）

动画演示作图过程

2．认一认（实验总结）

提出问题：①作图过程中，哪些量没有变？哪些量变了？

提出问题：②为什么要求作图过程中笔尖要绷紧？

提出问题：③笔尖所对应的动点M到定点的距离有什么长度之间的关系？

3．通过三个问题的设置，为学生从画法中发现抛物线的几何特征奠定基础。

总结：笔尖对应的动点M到直线两个端点的长度之和固定不变。

4．通过三个典型的问3．说一说（总结定义）

题，让学生更深刻地理提出问题：根据刚才动手实践的过程，能否总结椭圆的定义？解椭圆的定义

（同学自由发言，再由学生进一步补充完善）

我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的集合叫作椭圆。

问题1：定义中的常数等于F1F2，则动点的轨迹是什么？

F15．使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认F2问题2：定义中的常数小于F1F2，则动点的轨迹是什么？

并逐渐养成严谨的4．椭圆相关概念：两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦识，．．．．．点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距。

．．．．．

三、椭圆的标准方程

1．求一求（推导椭圆的标准方程）

问题3：回顾圆的轨迹方程是如何求的？

科学作风。

1．让学生由圆的标准方程的推导过程，类比的推导椭圆的标准方程。

x

M①建系：

②设点：

Mx,y

Oy

③列式：OMr得：x2y2r ④化简：x2y2r2

2．椭圆方程不止一种，问题4：以四种建系方式，哪一种针对求椭圆的标准方程比较建立的坐标系不同，椭好？

圆方程的表达形式也（补充说明：椭圆具有一定的对称美，故所求的式子最好简洁不同，在高中阶段只掌工整）

动手演算：让学生动手，求推导焦点在x轴上的椭圆的标准方程

①建系：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？（利用椭圆的对称性特征）

3．进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算Oyyy握焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程。

OxOxyxOx以直线F1F2为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建

能力，养成不怕困难的立平面直角坐标系．

钻研精神，感受数学的②设点：设焦距为2cc0，则F1c,0F2c,0．设简洁美、对称美

Mx,y为椭圆上任意一点，点M与点F1、F2的距离之和为4．数形结合的思想的2a2a2c．

③列式：动点M满足的几何约束条件:

MF1MF22a

坐标化为：灵活应用，进一步深化巩固数学思想方法

xc2y2xc2y22a

④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号

预案一：移项后两次平方法

xc2y2xc2y2xc2y22a

22axcy2

xc2y2

两边同时平方、整理得：

a2cxa将上式两边平方、整理得：

a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2

a2c2x2a2y2a2a2c2

x2y221

22aac做好准备，以备个别学生想到此种方法

分析a2c2的几何含义，令a2c2b2

x2y2得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程为221ab0

ab预案二：

用等差数列法：

22（xc）yat设22（xc）yat①②cx

a

①⒉－②2

得4cx=4at，即t=将t=cx代入①式得

acx

③

a2（xc）y2a将③式两边平方得出结论。以下同预案一

预案三：三角换元法：

222（xc）y2asin设222（xc）y2acos④⑤

④⒉－⑤2得4cx4a2sin4cos4

即4cx4a2sin2cos2sin2cos2即

2asin2cxa代入④式得

acx2（xc）y2a

a2222

c2x2x2cxcya2cx2

a以下同预案一

2．问一问

问题5 ：焦点在y轴上的椭圆的标准方程是什么？

（由学生动手列式，x2ycx2yc2a，引导22学生观察焦点在x轴上与焦点在y轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在y轴上椭圆的标准方程）

如果椭圆的焦点在y轴上，其焦点坐标为F10,c，F20,c，用同样的方法可以推出它的标准方程y2x221ab0

2ab问题6：如何用几何图形解释b2a2c2？a，b，c在椭圆中分别表示哪些线段的长？

四、课堂探究

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（-3，0），（3，0），椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于8；

（2）两焦点的坐标分别为（0，-4），（0，4），并且椭圆经过点(1．巩固椭圆的定义

3,5)。

例2 已知∆ABC 两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），周长2．通过本题的练习，为18，求顶点 C 的轨迹方程。

变式训练

1)表示一个圆

2)表示一个椭圆

3)表示一个焦点在x轴上的椭圆

使学生能加深椭圆的焦距与标准方程之间关系的理解，同时会求标准方程的基本量，教学时应引导学生逐层深入，养成求椭圆标准方程先看焦点位置的良好习惯。

五、课堂小结

问题：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获. 1．知识内容收获：一个定义（椭圆的定义）；两个方程（椭圆的两种标准方程）；及椭圆中a,b,c之间的关系。

2．学习过程收获：①巩固了动点的轨迹方程的求法；②通过推导椭圆的标准方程的过程，学会了两个根式相加的式子的化简方法，同时提高了自己的运算能力。

3．数学思想和方法：数形结合思想；转化化归思想；分类讨论思想。

目的：培养学生的概括总结能力

六、课后巩固练习

1、一课一题P42练习A第2题

2、思考题

3、研究性题

是对本节课新知内容及学习方法的巩固，同时启发学生思考，让学生更有兴趣继续研究椭圆

观察椭圆上的点到焦点距离最大、最小分别是哪些点？

七、板书设计

椭圆及其标准方程

一、画椭圆

二、定义：

三、椭圆的标准方程

焦点在x轴上时，

x2y2

221ab0

ab焦点在y轴上时，

y2x2

221ab0

abMF1MF22a2a2c

注明：①若2a存在；

②若2a2c，则点的轨迹不2c，则轨迹为线段F1F2