2.2.1 椭圆的标准方程优秀教学设计

2.2.1椭圆及其标准方程（第一课时)教学设计

广西梧州市苍海高级中学 谢芳

一、教学背景：

（一）

教材分析：

《椭圆的标准方程》是圆锥曲线这一章的一节入门课。从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点。

（二）

学情分析：

从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，而且学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

二、教学目标：

（一）知识目标：

掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．

（二）能力目标：

培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．

（三）情感目标：

激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．

三、教学重点、难点：

（一）椭圆的定义和椭圆的标准方程．

（二）掌握椭圆的两种位置及其标准方程，掌握a，b，c之间的关系．

四、教学方法：

（一）教学流程：

探参照学习目标，阅读并预习教材第25-29页及《新课程学习与测评》后：课前个人独立思考先做；课中先小组合作讨论，再全班共同研究，务求把问题弄懂弄透。使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力。

（二）教具准备：

多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．

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五、教学过程：

（一）教学环节：设置情景，引出课题

1、教师活动：展示开普勒行星运动定律的运行图像轨迹，并提出问题：

联想生活中还有哪些是椭圆图形？

2、学生活动：学生观察，学生举例子。

3、设计意图：引入生活情境激发学生的学习欲望，自然引入新课，同时与其实际相联系，拓宽学生思维，发展他们联想、类比能力。

4、活动成果：使学生在认识椭圆的同时，也进行了爱国教育。

（二）教学环节：启发诱导，推陈出新

1、教师活动：圆的定义是什么？圆的标准方程是什么形式？椭圆是怎么画出来的？椭圆的定义是什么？它的标准方程又是什么形式。

2、学生活动：学生回忆，思考后回答。

3、设计意图：让学生学会用类比的思想，通过已经学过的圆的知识猜想椭圆。

4、活动成果：引出课题-----椭圆及其标准方程。

（三）教学环节：小组合作，形成概念

1、教师活动：如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？教师分发两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板。

让学生自己动手画图，使其探究性学习，再提出以下问题：

(1) 细绳的两端点的位置是固定的还是运动的？

(2) 绳子的长度变了没有？说明了什么？

(3)要想得到的轨迹是椭圆，那么绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系。

2、学生活动：让学生按照老师的要求合作画图，并思考轨迹上的点具备什么特点。接着展示学生成果。请小组长代表本小组交流探究结论。

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3、设计意图：通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”；让每个人都动手画图，自己思考问题，由此培养学生的自信心。

4、活动成果：根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义——与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）．最后教师通过几何画板动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想。

（四）教学环节：互动探究，深化概念

1、教师活动：教师提出几个问题，在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有何变化？当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个图钉之间的距离吗？

2、学生活动：小组内学生动手实验，思考以后回答。

3、设计意图：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力。

4、活动成果：加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风。明白了：①这两个定点F1，F2叫作椭圆的____，两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的____，记为2c；

②平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数2a的点的轨迹：

当2a＞|F1F2|时，轨迹为 ；

当2a＝|F1F2|时，轨迹是 ；

当2a＜|F1F2|时，轨迹 ．

（五）教学环节：探讨研究，推出椭圆标准方程

1、教师活动：跟学生一起回顾求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．并提出问题：如何建系，使求出的方程最简？

2、学生活动：一部分小组研究如果以F1F2所在直线为x轴建系，另一部分小组研究如果以F1F2所在直线为y轴建系，分别求出椭圆的方程。由各小组讨论，请小组代表汇报研讨结果．

3、设计意图：通过坐标系的不同选择，用不同的方法得到不同的方程，通过比较体会曲线的方程的不确定性，理解曲线与方程的关系。在实践中通过对比提高决策能力、计算能力、培养学生简约的思维能力。

4、活动成果：

让学生知道已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？讨论得出：看它们分母的大小，哪个分母大就在哪一条轴上．

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标准方程

图形

焦点在x轴上

焦点在y轴上

焦点坐标

a、b、c的关系

焦点位置的判断

（六）教学环节：研讨例题，精通变式

1、教师活动：给出例题

例题1：用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆？

（1）到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。

（2）到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。

（3）到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。

例题2：填空：

x2y2194（1）在椭圆

中,

a=___,b=___,焦点位于__ 轴上，焦点坐标是_________. （2）在椭圆

16x7y112

中, a=___,b=___,焦点位于__ 轴上，焦点坐标是_______. 22x2y21，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标（3）已知椭圆的方程为：

2516为：____________

焦距等于____;若直线CD过左焦点F1，且交椭圆于C、D两点，则三角形F2CD的周长为________ （4）已知椭圆的焦点的坐标分别是3,0和3,0，且a=3，则b=

，椭圆的标准方程为

2、学生活动：小组内相互讨论，独立完成。

3、设计意图：培养学生运用知识解决问题能力

4、活动成果：通过课堂活动的参与，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。



4

（七）教学环节：课堂练习，巩固提高

1、教师活动：给出练习

练习1：求适合下列条件的椭圆方程：

(1)

a＝4，b＝3，焦点在x轴上；

(2)

(2)b=1，

C15，焦点在y轴上；

(3)

若椭圆满足: a＝5 , c＝3 。

练习2：两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10，求椭圆的标准方程．

2、学生活动：小组内相互讨论，独立完成。

3、设计意图：检测学习成果。

4、活动成果：学生基本上能运用知识，去解决问题。

（八）教学环节：课堂总结

1、教师活动：

（1）椭圆的定义（注意定义中的条件）；椭圆定义应用较广，必须牢固掌握高度重视。

（2）椭圆标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系。

（3）掌握定义法和待定系数法求椭圆的标准方程。

2、学生活动：学生总结，教师配合整理。

3、设计意图：培养学生概括、整理、总结能力。

4、活动成果：学生在探索中学到了知识，激发了他们学习的兴趣。

（九）教学环节：课后作业布置：

1、教师活动：课本P42

习题2.1

A组

2、（2）（3）

2、学生活动：学生课后独立完成。

3、设计意图：强化巩固本节内容。

4、活动成果：更好地掌握椭圆的标准方程，激发了他们学习的兴趣。

六、教学反思

本节课整个教学过程为：提出问题——探索——解决问题——归纳反思——提高。为了突破重点，在教学设计中采用了循序渐进、逐层推进的方法：先用多媒体展示开普勒行星运动定律的运行图像轨迹形象地给出椭圆，使学生对椭圆有一个直观的了解；再让学生自己举例、动手操作“定性”地画出椭圆和探究归纳定义；最后通过坐标法“定量”地描述椭圆。这种从感性到理性地抽象概括，从而形成概念，推出方程的过程符合学生的认知规律。为使5

学生更好地掌握椭圆的标准方程。

为突破难点，在设计中通过课堂精心设问：①教师问：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？②教师问：对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？这样，椭圆方程的化简这一难点也就迎刃而解了。

针对这节课的问题，教师边演示，边提问，让学生边观察，边思考，边讨论，最大限度地调动学生积极参与教学活动，在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要的可进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见。这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。

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