3.1.4 空间向量的坐标表示教案3

立体几何中的向量方法（四）

一、教学目标：

知识与技能目标: 1、掌握用待定系数法求向量坐标。

2、掌握立体几何中的坐标法三步曲。

3、掌握立体几何中的向量方法的实际应用。

4、深化理解向量运算在几何计算中的应用。

过程与方法目标:1、通过立体几何问题中向量运算，培养学生的运算能力。

2、通过本节的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步培养学生 的空间想象能力。

情感与态度目标:培养学生分析问题解决问题的能力，促使他们体会数学探索活动的基本规律，同时让学生 体会到数学来源于生活。

二、学生学情分析：

1、对象：高二理科学生，有一定的思维能力

2、学情：教材在之前的学习中给出了两个例子，已经让学生感受到向量的作用，已基本掌握了向量法解决 立体几何问题的步骤，但对于坐标法解决立体几何问题本节课是第一次应用。

三、重点难点：

重点:理解并掌握向量坐标方法解决立体几何问题的一般方法

难点：待定系数法求向量坐标

四、教学过程：

（一）创设情境、引入课题

同学们，很多设计宏伟的建筑，飞架的桥梁等重大的工程建设都会遇到许多立体几何问题，来看一个视频。在工程建设中，如何吊起这块钢塔是一个重大的工程！这节课我们一起解决这么的一个应用问题。

【设计意图：用一个学生感兴趣的港珠澳大桥吊装视频，引出本节课，让学生感受数学是有用的，激发学生学习新知的兴趣和欲望。】

问题：一块均匀的正三角形面的钢板质量为 50kg,在它的顶点处分别受力F1,F2,F3，每个力与同

它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，且三个力的大小为200 N．这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动? 这三个力至少为多大时，

才能提起这块钢板? 问1：请问这块钢板会怎样运动?（追问：这块钢板的运动方向受制于什么因素？）

【学情预设：学生可能说很多种运动状态】

问2：三个力怎么加起来呢？

【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型】

1、微课复习向量的加法。

【设计意图：学生对于空间向量内容已经有所遗忘，而空间向量的基础内容又是解决本节课问题的基石】

2、分组活动，合作学习

请前后四人小组一起探究如何求和向量？

【学情预设：①若学生用三角形或平行四边形法则画出三个向量的和向量，继续提问：你们组定性研究出 了和向量,是否更深刻的从定量角度研究出它的大小和方向吗？②若学生用补形的方法得到了正四面体，可继续提问合向量与这个正四面体关系】

（二）讲授新课

1、坐标探求

问题3：若三个向量坐标知道，和向量坐标知道了吗?（知道了），那接着我们围绕求三个向量坐标进行研究。 【设计意图：极少有同学能求出和向量，通过如此提问，提高学生的解决这个问题的信心和兴趣】

问题4：要求空间向量的坐标，首先必须做什么？（追问：你会怎么建系？）

【学情预设：不同学生建系方式会有所区别，可继续提问坐标系不同，最后钢板的运动状态会不同吗？大家喜欢哪一个？为什么？】

【设计意图：请学生回答不同的建系方式的优缺点，感受建系恰当与否的重要性】

2、分组活动，合作学习

请四人小组一起探究一下如何求F1坐标？

【学情预设：学生有可能从求终点坐标入手解决问题，有可能把向量进行正交分解，但求值时会碰到困难，教师要及时加以肯定。】

3、师生互动、探究新知

让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：

（1）F1有几个未知量？

（2）需要列几个方程？

（3）题目中有哪些F1有关的条件？

（4）如何将这3条件代数化成方程？施以什么运算？

【设计意图：通过4个小问题的解决，是学生的思路越来越清晰，也逐步找到解决问题的方法。】

在这里要注意生生之间、师生之间的对话

复习：向量中的的一个重要运算数量积可以把角度，长度这两个问题一网打尽！我们来回顾一下！

问题5：设F1=(x,y,z),借助于上面两个公式把三个条件坐标化成方程，x,y,z解得出来吗？（追问：计算比较复杂，看有什么好办法进行简化！）

【设计意图：引入单位向量，这点学生一开始比较难想到，通过上面数字很大，碰到困难后，再感受到单

位向量的好处，学生印象深刻】

我们把这个向量换一种形式，F1方向上的单位向量坐标知道，F1知道了吗？题目中现有或隐含了哪些与e1有关的条件？教师在黑板上写出求F1的完整过程

学生练习：下面分组类比求出F2，F3

【设计意图：让学生感受坐标法到向量运算在坐标法解决问题的简便性，同时提示注意计算夹角方时，注

意向量方向】

进而求出F合，无法提起这块钢板！

问题6：这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？ 探索：那么坐标法是解决这个问题的唯一途径吗？我们来看大家第一次小组讨论时的成果。请同学们再进

一步探索一下不建立直角坐标系能否解决问题？

(三）概括小结，完善认知

通过本节课的学习，你对立体几何中的向量方法有什么认识？你有什么收获？

⑴知识层面：①几何问题几何处理一筹莫展时，可以拿出向量坐标法这个杀手锏干掉它！

②向量的坐标除AB(xBxA,yByA,zBzA)，定义法，还可以采用待定系数法

③向量运算比较复杂时，可以转化为相应的单位向量进行处理

⑵方法层面：在问题解决的过程中领悟类比、化归、数形结合等思想。

【学情预设：学生可能只是把黑板上的过程复述一遍，教师要引导学生谈谈对为何用，何时用，即怎么研究一个立体几何问题。】

【设计意图：①让学生再一次复习解决立体几何方法（可以从也应该从多个角度进行分析比较），让学生体会本课的研究方法,就以便能将其迁移到其他知识的研究中去。②总结本节课中所用到的数学思想方法。】