2.2.1 椭圆的标准方程国家获奖教案

2.2.1

椭圆的标准方程（1）

教学目标：

1．进一步理解椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导．

2．掌握椭圆的标准方程，会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标，能用标准方程判定是否是椭圆．

教学重点：

椭圆的标准方程．

教学难点：

椭圆标准方程的推导．

教学方法：

引导启发、自主探究．

教学手段：

运用多媒体（计算机等）辅助教学．

教学过程：

一、问题情境

情景一

复习上节课内容，重点是椭圆的定义．上节课我们已经学习了椭圆的定义，请大家回忆一下我们是如何定义椭圆的？平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

情景二 展示图片一，思索：把一个圆压扁了，像一个椭圆，它究竟是不是椭圆？

引入：今天我们学习过椭圆的方程，就能很好的回答这个问题。

知识链接：圆的的标准方程的推导过程。

师：大家还记得圆的方程是怎样建立的吗？（个别提问）

老师多媒体展示圆的标准推导过程，请同学们总结处理方程的步骤。

生：（回答问题，教师加以引导）得出圆的标准方程的基本步骤：建坐标系、设点、列等式、代坐标、化简．

师：那么大家觉得这种方法是否适用于椭圆呢？

生：可以．

师：请大家预设一下椭圆的方程的推导过程？

学生回答，教师板书推导的5个过程：

1、建坐标系

2、设点

3、列等式

4、代坐标

5、化简．

生：（研究探索椭圆的方程，教师适时加以引导）

二、建构数学

（1）如何建立适当的坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；

（一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴．）[

①建立适当的直角坐标系：

以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示坐标系．

②设点：设P(x，y)是椭圆上的任意一点，F

Fc，F0)；，0)，F1(c，1221(c2222FPF2a③根据条件P得(（1）

xc)y(xc)y2a1122222222④化简：（移项，两边平方）(，

ac)xaya(ac)师：能否美化结论的形象？

22222，，ac0ac0，令acb222222则：b．

xaxab[来源:学科网]

师：由直线方程的截距式是否可以得到启发？

x2y2（a，b即为椭圆在x，y轴上的截距）

椭圆方程为：221．ab师：怎样推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程？（用小黑板做演示）

生：交换x，y就可以得到．

学生黑板展示焦点在y轴上的椭圆的标方程推导过程，并进行重点强调！

师：（板书两种方程和图形）

师：椭圆标准方程的特点是什么？

生：x，y轴分别为椭圆的两个对称轴，焦点在坐标轴上，焦点的中心是原点．

师：焦点位于x，y轴上时的焦点坐标分别是什么？

生：（回答，教师板书）

师：a，b，c之间存在一个什么关系？

222生：a

bc师：如何判断椭圆的焦点的位置？

生：在分母较大的对应轴上．

回顾：要判断刚才压扁的“椭圆”是不是椭圆，我们就可以把曲线的坐标带进椭圆方程，如果所有点都满足方程，曲线就是椭圆了。同时，满足方程的点的坐标都在椭圆上。（理性认识曲线和方程的关系）

练习巩固：练习题1（判断是否为椭圆，焦点位置，老师加以引导）

练习巩固：练习题4（判断焦点的位置，老师引导）

引导发现：规律：1、化标准形式

2、观察分母的大小，确定焦点位置。

三、数学运用[来源:Z&xx&k.Com]

例１

写出适合下列条件的椭圆的标准方程

(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上；

(2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；

例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），

椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。

(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），

53(,)2 。

且椭圆经过点P 2

老师多媒体展示解题步骤：[来源:Zxxk.Com]

（引导学生发现，并让学生总结）

规律小结：求椭圆的标准方程：

(1)确定

焦点 所在的位置，选择标准方程的形式；

(2)求解a，b的值，写出椭圆的标准方程．

巩固练习：课本练习2. 探究与互动：（引导学生再次感受求方程的规律）

1 x2y2＋＝1－m16＋m方程 25 ，分别求方程满足下列条件

的m的取值范围：①表示一个圆；②表示一个椭圆；③表示焦点在x轴上的椭圆。

解题感悟：

方程表示椭圆时要看清楚限制条件，焦点在哪个轴上。方程表示椭圆时要看清楚限制条件，焦点在哪个轴上。

2：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。

224xy1 的一个焦点

F1

的直线与椭圆交于

3过椭圆 A、B两点，求 ABF2 的周长。

4:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程. 练习：已知A(－1,0),B(1,0)，线段CA、AB、CB的长成等差数列，

则点C的轨迹方程是_____________. 练习：教材P30练习4．

y

F2o

B

A

F1

四、回顾反思

标准方程

x2y221(ab0)

a2b

x2y221(ab0)

2ba

[来源:Z*xx*k．Com]不同点科网ZXXK]图形

[来源:Zxxk．Com][来源:学科网ZXXK]

[来源:学

焦点坐标

F(c，0)，Fc(，0)

12F1(0，c)，F2(0，c)

定义

平面内到两个定点F，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹

相同点

a，b，c，的关系

焦点位置222

abc分母哪个大，焦点就在哪个轴上

的判断

五、作业

1．教材P31页习题2．2（1）第2，4，6题．

2．推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程．