3.1.3 导数的几何意义ppt配用优秀教学设计

第1讲

变化率与导数、导数的几何意义

知

识

梳

理

1.导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

Δy一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx＝lim

x0x0f（x0＋Δx）－f（x0），我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|xΔxf（x0＋Δx）－f（x0）＝x0，即f′(x0)＝lim. Δxx0(2)函数f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数f′(x)＝lim2.导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数

f(x)＝C(C为常数)

f(x)＝xα(α∈Q*)

f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex

f(x)＝ax(a>0，a≠1)

f(x)＝ln x f(x)＝logax

(a>0，且a≠1)

4.导数的运算法则

导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1

f′(x)＝cos x

f′(x)＝－sin x

f′(x)＝ex

f′(x)＝axln a

1f′(x)＝x

1f′(x)＝xln a

f（x＋Δx）－f（x）为f(x)的导函数. Δxx0

若f′(x)，g′(x)存在，则有：

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f（x）f′（x）g（x）－f（x）g′（x）′＝(3)(g(x)≠0). g（x）[g（x）]2诊

断

自

测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.(

) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(

) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.(

) (4)若f(x)＝a3＋2ax＋x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(

) 32.有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(

) 19A.4

17B.4

15C.4

13D.4

3.(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________. 4.(2017·豫北名校期末联考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________. 5.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________. 考点一

导数的计算

【例1】

求下列函数的导数：

11xx(1)y＝exln x；

(2)y＝xx2＋x＋x3；

(3)y＝x－sincos；

22

规律方法

(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求

导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错. (2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导. 【训练1】

(1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0等于(

) A.e2

B.1 C.ln 2

D.e (2)(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)＝3，则a的值为________. 考点二

导数的几何意义(多维探究) 命题角度一

求切线方程

【例2－1】

(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________. (2)(2017·威海质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(

) A.x＋y－1＝0

C.x＋y＋1＝0

B.x－y－1＝0 D.x－y＋1＝0 命题角度二

求切点坐标

1【例2－2】

(2017·西安调研)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________. 命题角度三

求与切线有关的参数值(或范围) 11【例2－3】

已知直线y＝2x＋b与曲线y＝－2x＋ln x相切，则b的值为(

) A.2

B.－1

1C.－2

D.1 规律方法

(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点. (2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标. (3)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0. 【训练2】

(1)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P

的坐标是________. (2)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________.

[思想方法] 1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0. 2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，必须注意交换的等价性. 3.曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点. [易错防范] 1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆. 2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点. 3.对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零.