3.1.3 导数的几何意义优质课教学设计

《导数的几何意义》教学设计

一、

教学内容解析

1、教材分析

《导数的几何意义》是人教A版选修1-1第三章《导数及其应用》§3.1.3的内容，本节课为第一课时。

微积分学是人类思维的伟大成果之一，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用。导数的几何意义作为导数的概念的下位知识课，是学生掌握了上位知识——平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的基础上进一步从几何意义的角度理解导数的含义与价值，体会逼近，以直代曲和数形结合的数学思想方法。同时，本节的学习也为下位知识——导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的基础。因此，导数的几何意义具有承前启后的重要作用，是本章的关键内容。

2、教学重点与难点

教学重点：理解导数的几何意义及其应用。

教学难点：逼近思想，以直代曲的思想。

二、教学目标设置

（一）知识与技能：

（1）会描述一般曲线的切线定义；

（2）会根据导数的几何意义求切线斜率，并会用其分析描述“曲线在某点附近的变化情况”。

（二）过程与方法：

（1）通过观察类比，合作探究，概括出一般曲线的切线定义；

（2）经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、类比、数形结合的思想方法。

（三）情感态度与价值观：

领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受人类理性思维的作用。

三、学生学情分析

从知识储备上看，学生通过了对实例的分析，经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解了导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，从数上体会了“逼近”的思想；同时，学生已经学习了直线的斜率与直线方程的相关知识。

从学习能力上看，教学对象是高二文科班的学生，思维活跃，具有一定的想象能力和研究问题的能力。经过半年多的训练，学生逐步形成小组合作探究，代表上台解释概括总结的学习模式。

从学习心理上看，学生已经从实际意义，数值意义这些“数”的角度理解了导数，学生也渴求从几何意义，即“形”的角度来理解导数，但学生对切线认识存在一定的思维定势——“与曲线仅有一个公共点的直线是曲线的切线”。教师需创设问题情境，采用类比的方法，引导学生在概念上上升一个层次，由割线的逼近来定义一般曲线的切线，从而突破教学难点：“逼近”思想。

四、教学策略分析 1、教法分析：“启发探究式”教学法，教学中遵循教师主导、学生主体、探究主线，教师更多的是启发引导学生的思维。

2、学法指导：（1）自主学习 （2）合作学习 （3）探究学习

对于活动一：形成一般曲线的定义，我先创设问题情境，引起学生对切线问题的注意与思考，接着引

1

导学生开展观察——感知——类比——概括的活动。

对于活动二：发现导数的几何意义，我采用探究发现法教学。依据知识的发生发展过程和学生的思维n在点P处的切线”由定性规律，我设计“问题串”以启发引导学生思考，将“过定点P的割线PP刻画上升为定量刻画，进而发现了导数f'(x0)的几何意义，同时，设计以导数为支撑和联结点的知识网络图，构建前后一致逻辑连贯的数学学习过程。

整个过程注重学生的参与意识，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习，激发学生勇于探索、勤于思考的精神。教学过程中，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学主体。 充分利用现代多媒体技术辅助教学，通过超级画板的动态演示，让学生充分体会逼近的思想方法，这能使学生更好的理解导数的几何意义，从而突出重点，突破难点。

五、教学过程

教学流程图

作业

感受

理解 思考

运用

反馈升华

画龙点睛：从知识、方法、思想三个方面进行总结，一图二义三思想

应用拓展

例1：思维最近发展区内的学习任务，巩固导数的几何意义，生成以直代曲的思想；例2：加深导数几何意义的理解

探索建构

活动一：形成一般曲线的切线定义 活动二：发现导数的几何意义和完善知识网络图

情境引入

复习：导数的概念

2

时间

教学内容

回忆：我们是怎样一步步抽象出导数的概念的？

教师活动

讲授：前面我们以物理为背景，从“数”的角度研究了导数，现在我们想从“形”途径来解读导数，即导数的几何意义。

导数，在17世纪，起源于两类问题：一、力学中的速度问题，二、几何学中的切线问题。今天，我们从切线问题入手，开始学习。

学生活动

答：先学***均变化率设计意图

由旧知引出问题，既复习了旧知，又启发学生思考，引出本节课课题。

在学生思维“最近发展区”中提问，先唤起学生的回忆，然后以问题引领学生来到新知识的生成场景中。

问题（2）的设置不仅否定了“从交点个数来定义切线”的这种推广，而且引发学生认知冲突，极大地激发了学生的学习兴趣和探究欲望。

让学生在获情境

fx0xf(x0)，令xx0，得到瞬时变化率fx0xf(x0)，接limx0x着定义为导数f(x0)。

2

分

引钟

入

形成一

(1)初中时，我们怎样定义圆的切线和割线？

般曲线(2) 图1 l1是否为曲线在点A处7 的切线?

分

的l2是否为曲线在点钟

的切线? B处切线定l2是否为曲线在点C处的切线? 义

图2

(3)

你能不能类比圆的

启发：以前的切线定义不适用于一般曲线。我们能不能换个角度来观察圆的割线和切线？

启发:学生用动态的眼光观3

答：如果直线和圆有唯一公共点，则这条直线叫做圆的切线；若有两个交点，则这条直线叫做圆的割线。

答：我觉得l1不是曲线在点A处的切线；对于l2，我就不敢确定。

割线和切线的动态关系，察圆的割线和切线; 寻求一般曲线的切线？

引导:学生结合前面探究的经验。

旧知：

①当t0，平均速度趋近于确定的值，这个确定的值就是瞬时速度。

②当x0，平均变化率

趋近于确定的值，这个确定

的值就是瞬时变化率。

追问学生形成概念的思路。

得直观感知的基础上，通过合作探索，亲身经历一般曲线切线的发生发展过程，上升理性思维，形成切线定义，从而突破教学P答：当P时，割线趋n难点：“逼近”于确定的位置，这个确定位思想。

置上的直线就是曲线在点

P处的切线。

使学生加深

对切线定义PnP切线，讲授：割线

的理解，消除体现了逼近的思想，量变与之前的认知学生口答前面的问题（2）

质变的辩证关系。

冲突。

问：刚才从直观上感知了“割线逼近切线”的变化过程，进一步，如何用数量关系来表示这种变化？

问：如何写出割线方程?

引导：

设点P(x0,y0)P，n(xn,yn)

答：割线逼近切线，用代数刻画就是研究割线方程和切线方程的关系。

答：由图可知，割线经过点

学生经历由定性刻画到定量刻画的过程，逐步学会数学探究的一般思想方法，从而提高学生的数学思维能力

发现导几何直观： 1数5 分

的过定点P的割线

PnP

P和点Pn，只要设出这两点的坐标就可以了。

在点P处的切线

又因为这两点都在曲线

几f(x)上，所以

代数刻画：

何P(x0,f(x0)),Pn(xn,f(xn))

意对应上节课的记法，xn可以

义

用x0x表示，所以

Pn(x0x,f(x0x))。

问：有了点的坐标，接着如

？

4

何一步步写出割线方程和切线方程呢？

下面请学习小组合作探究。

旧知：经过点P，(x,y)000

且斜率为k直线的点斜式

方程为

思考：

1、如何写出割线PP方n

程？

发

现2、过定点P的割线PPn

逼近切线的过程中，割线

导

PPn方程的哪个部分的

数值发生变化？变化的最

终结果是什么？

的

3、如何写出切线方程？

几

何4、导数f(x0)的几何意

义是什么？

意

追问：你是怎么得出切线方义

程的？

追问：为什么它是切线的斜

率？

5

答：yy0k(xx0)

(充分讨论后，学生上台投

影并作出解释)

以问题串的答：1、

形式启发引导学生思考，

f(x0x)f(x0)yf(x0)(xx0)x让学生经历从已知到未2、过定点P的割线PP逼n知，步步深入近切线的过程中，对应方程的过程。

f(x0x)f(x0)中的值x

会发生变化;

当PnP，

即x0时，变化的最终

结果是

f(x0x)f(x0)limf'(x0)x0x

3、切线方程就是

yy0f'(x0)(xx0)

答：根据点斜式，切线过点

P，这

f(x0x)f(x0)limf'(x0)x0x

是切线的斜率。

答：因为在割线方程中，这

f(x0x)f(x0)（）部分x

是割线斜率，根据割线逼近请学习小组切线，所以割线斜率逼近切的代表上台线斜率。

投影展示讨论结果，提高答：4、导数f(x0)的几何学生的概括能力和表达意义是函数f(x)的图像在能力。

xx0处切线的斜率。

发现导数的几何意义

★完善知识网络图

讲授：导数f(x0)的几何意义是函数f(x)的图像在xx0处切线的斜率。

kf(x0)

(k是曲线在xx0处切线的斜率)

问：目前，我们已经从物理意义，数值意义，几何意义三个方面理解了导数，你能自主完善知识网络图吗？

答：割线斜率，切线斜率

以导数为支撑和联结点，引导学生从不同的角度对其加以认识；同时，网络化的知识给联想提供线索和桥梁。

例1、求曲线

y=f(x)=x2+1在点

P(1,2)处的切线方程.

应

1用

3

分

钟

拓

展

讲授：正由于相等，所以在P点附近，切线是最贴近曲线的那条直线。

讲授：因此在点P附近，曲线f(x)可以用在点P处的切线近似代替。我们把这种思想称为“以直代曲”的思想。

以前在算法中，刘徽的割圆术用的就是“以直代曲”，“逼近”的思想来计算圆周率。在这里“以直代曲”的作用是：若要分析曲线在x0附近的变化情况，只有作出在x0处切线，分析该切线，得出k，即知道从而知道曲线在该f'(x0)，点处升降变化情况。

6 答：在切点附近，曲线和切线的变化趋势是一致的。

答：斜率k反映切线的升降

培养同学们数形结合的能力；还为后面引出“以直变化情况，导数f'(x0)反映代曲”的思想做准备。

函数在x0附近的变化情况，

而kf'(x0)，所以反映在将图像放大，图形上他们的升降变化情引导学生观况是一致的。

察分析，获取直观感觉，再数

形

从“数”方面分析，培养学生严谨的数学思维习惯。

从“形”到“数”，一步

步深入，最后

生成“以直代

曲”的思想，

让学生感受

例2、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

学生用实物投影仪投影自己“学习单”上答案并解释

h(t)4.9t26.5t10应

的图象。根据图像，请描

述、比较曲线h(t)在

用

t,t,t附近增（减）以

012

及增（减）快慢的情况。

拓

展

到数学知识的产生是水到渠成的。

提供应用性情境，促进知识技能的迁移。

让学生会利用导数的几何意义解决实际生活问题，突出本节课的教学重点。

课堂小结：

请说一说你这节课印象最深的部分。

教师引导学生从知识、方法、思想三个方面进行总结。

讲授：本节课我们从不同的角度解读了导数，通过类比方法，学习了切线的定义和导数的几何意义，体会了逼近的思想和以直代曲的思想，同时，数形结合的思想贯穿始终。概括起来就是“一图二义三思想”。

一图：知识网络图

二义：1、切线定义

2、导数几何意义

三思想：逼近的思想

以直代曲的思想

数形结合的思想

反

3 分

学生自由说出自己这节课印象最深的一部分。

馈

钟

升

让学生自主理清思路，进一步实现自我评价。

师生用“一图二义三思想”进行总结，朗朗上口，方便记忆。

华

7

作业：

1、P80 A组

4,5,6 2、理解探究导数f'(x0)的几何意义的过程。

2、阅读•理解：收集有关微积分创立的时代背景和牛顿、莱布尼兹的资料。

布置可选择的作业集合，以满足不同学生的不同需求。

板书

§3.1.3导数的几何意义

一、切线的定义

n切线

割线P(x0,f(x0)),Pn(x0x,f(x0x))

割线PPn方程：

yf(x0)f(x0x)f(x0)(xx0)

xPP （逼近思想）

二、导数的几何意义

fx0xf(x0)1.f(x0)limk

x0x投影屏幕

（实际为第2和第3块黑板的位置）

①平均变化率 （割线斜率）

fx0xf(x0)

x

x0

②瞬时变化率 (切线斜率)

limfx0xf(x0)f(x0)

xk为曲线在xx0处切线的斜率

2.“以直代曲”的思想

x0

8