3.1.3 导数的几何意义教案设计（一等奖）

3．1.3

导数的几何意义

[读教材·填要点]

1．导数的几何意义

(1)切线：如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．显然割线PPnfxn－fx0的斜率是kn＝，当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．

xn－x0

(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的fx0＋Δx－fx0斜率，也就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率k＝lim

＝f′(x0)．

ΔxΔx→0

2．导函数

从求函数f(x)在x＝x0处的导数过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝lim

→Δxfx＋Δx－fx. Δx0[小问题·大思维]

1．本节切线的定义与以前学过的切线的定义有什么不同？

提示：本节中切线是利用割线的极限位置定义的，适用于任何曲线，以前学的切线是从直线与具体曲线的交点个数来定义的．

2．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线方程是什么？

提示：∵k＝f′(x0)，∴根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数y＝f(x)的部分图像如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x1)、f′(x2)和f′(x3)的大小吗？

提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA>kB，在C处的切线斜率小于零，所以f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)．

4．f′(x0)与f′(x)的区别是什么？

提示：f′(x)是函数f(x)的导函数，是一个确定的函数，f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，是一个确定的常数，也是函数f′(x)在x＝x0时的函数值．

[研一题]

14[例1]

已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．

33[自主解答]

将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，

∴切点P(2,4)．

Δyy′|x＝2＝lim

Δx→0Δx14142＋Δx3＋－×23－3333＝lim

ΔxΔx→01＝lim[4＋2·Δx＋(Δx)2]＝4. →3Δx0∴切线的斜率k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为

y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

本题所求的切线方程与曲线C是否还有其他的公共点吗？为什么？

y＝4x－4，解：由134

y＝x＋，33可得(x－2)(x2＋2x－8)＝0，

解得x1＝2，x2＝－4. 从而求得公共点为

P(2,4)或M(－4，－20)．

即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点．

[悟一法]

利用导数的几何意义求切线方程的方法：

(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．

[通一类]

181．已知曲线y＝x3上一点P(2，)，求：

33(1)点P处的切线的斜率；

(2)点P处的切线方程．

1解： (1)由y＝x3得

311Δy＝(x＋Δx)－x3

331＝[3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3]，

3Δy12＝[3x＋3x(Δx)＋(Δx)2]，

Δx3Δy2lim

＝x. Δx→0Δx∴f′(x)＝x2，f′(2)＝4，

∴点P处的切线的斜率等于4. 8(2)在点P处的切线方程是y－＝4(x－2), 3即12x－3y－16＝0.

[研一题]

[例2]

已知抛物线y＝2x2＋1，求

(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？

(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0? [自主解答]

设点的坐标为(x0，y0)，则

2Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx).

∴Δy＝4x0＋2Δx. ΔxΔy当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0. Δx即f′(x0)＝4x0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，

∴斜率为tan 45°＝1. 119即f′(x0)＝4x0＝1得x0＝，该点为(，)．

448(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，

∴斜率为4. 即f′(x0)＝4x0＝4得x0＝1.该点为(1,3)．

(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

∴斜率为8. 即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．

[悟一法]

解决此类问题的步骤为：

(1)先设切点坐标(x0，y0)；

(2)求导数f′(x)；

(3)求切线的斜率f′(x0)；

(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，求出x0；

(5)由于点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求得y0的值得切点坐标(x0，y0)．

[通一类]

2．已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．

解：设切点P(x0，y0)，切线斜率为k. [2x＋Δx2＋a]－2x2＋aΔy由y′＝lim

＝lim

ΔxΔx→0ΔxΔx→0＝lim (4x＋2Δx)＝4x，

→Δx0得k＝y′|x＝x0＝4x0. 根据题意4x0＝8，x0＝2，

a＝－7，分别代入y＝2x＋a和y＝8x－15得y0＝8＋a＝1得

y0＝1.2

故所求切点为P(2,1)，a＝－7.

[研一题]

[例3]

如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图像为下图中的(

)

[自主解答]

函数的定义域为(0，＋∞)，

当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图像是上升的，且图像是下凸的；

当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图像是上升的，且图像是上凸的；

当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图像为平行于x轴的射线．

[答案]

D [悟一法]

函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数升降的快慢．因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质．

[通一类]

3．函数y＝f(x)的图像如图所示，根据图像比较曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2附近的变化情况．

解：当x＝x1时，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线l1的斜率f′(x1)>0，因此在x＝x1附近曲线呈上升趋势，即函数y＝f(x)在x＝x1附近单调递增．

同理，函数y＝f(x)在x＝x2附近单调递增，

但是，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这表明曲线y＝f(x)在x＝x1附近比在x＝x2附近上升得缓慢．

求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．

x＋Δx2－x2Δy[错解]

y′＝lim

＝lim

＝2x. ΔxΔx→0ΔxΔx→0斜率为k＝2×3＝6，切线方程为：y－5＝6(x－3)，

即6x－y－13＝0. [错因]

求曲线在点P处的切线与求过点P的切线有区别．在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点P未必是切点．应注意概念的区别，其求法也有所不同．

x＋Δx2－x2Δy[正解]

y′＝lim

＝lim

＝2x. ΔxΔx→0ΔxΔx→0设所求切线的切点为A(x0，y0)．

∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x20. 又∵A是切点，

∴过点A的切线的斜率y′|x＝x0＝2x0. ∵所求的切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，

y0－5x20－5∴其斜率又为＝，

x0－3x0－3x20－5∴2x0＝，

x0－3解之得

x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．

当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；

当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10. ∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和

y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.