信息技术应用 图形技术与函数性质优质课教学设计

利用导数研究函数的性质

目标：

1、了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件。

2、会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

3、会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

重难点：

1、利用导数求函数的极值问题。

2、利用导数求函数的最值问题。

3、利用导数求解函数的极值和最值得综合问题。

授课内容：

知识梳理: 1、函数的单调性与导数

（1）函数单调性的充分条件：设函数y=f（x）在某个区间内可导，如过f（x）的导数大于零，则f（x）在该区间内为增函数；如果f（x）的导数小于零，则f(x)在该区间内为减函数。

（2）函数单调性的必要条件：设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果f（x）在给区间上单调递增，则f（x）的导数大于等于零；如果f（x）在该区间上单调递减，则f（x）的导数小于等于零。

注：导函数看正负，原函数看增减。

例1

如图，f(x)的导函数图像如图所示，f（x）的递减区间是（

）

Y

A、（-1，+∞）

B、（-2,1）

C、（-∞，-2），（1，+∞）

D、（-∞，-2）∪（1，+∞）

-2

-1 1 X 例2 求f（x）=的单调区间。

解： f（x）的定义域为（0，+∞）

f'(x)=

令f'(x)=0，则x=e 当x∈（0，e）时，f'(x)﹥0，f（x）单调递增

当x∈（e，+∞）时，f'(x)﹤ 0，f（x）单调递减

∴f（x）的增区间是0，e），减区间是（e，+∞）

练习：求下列函数的单调区间

（1）f（x）=

（x+3）+a （2）f（x）=

-3

-3x+2 （3）f（x）=（x-3）

小结：利用导数判断函数单调性的一般步骤

（1）求函数的定义域的导数

（2）在函数的定义域内解不等式f'(x)﹥0或f'(x)﹤ 0 （3）根据（2）的结果确定单调区间

2、函数的极值与导数

(1)极大值

设函数f（x）在x。附近有定义，如果对x。附近所有的点，都有f（x）≤f（x。），我们就说f（x。）是函数f（x）的一个极大值，x。叫做函数的一个极大值点。

（2）极小值

设函数f（x）在x。附近有定义，如果对x。附近所有的点，都有f（x）≥f（x。），我们就说f（x。）是函数f（x）的一个极小值，x。叫做函数的一个极小值点。

例3 求f（x）=

-

-3x-9的极值。

解：

（

）=

-2x-3 令

（

）=0,则x=-1或x=3

（

），f（x）随x的变化情况如下表：

X f'(x)

f（x）

（-∞，-1）

+ 递增

-1 0 极大值

（-1,3）

- 递减

3 0 极小值

（3，+∞）

+ 递增

当x=-1时，f（x）取得极大值为-

当x=3时，f（x）取得极小值为-18 练习：求下列函数的极值

（1）f（x）=1+3x-

（2）f（x）=-

+

+4x+5

总结：求函数极值的方法

函数的极值：函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点。

（1）求函数的导数

（2）解方程

（

）

,当

（

）

时，

①如果x。附近的左侧 （ ）﹥

，右侧

（

）﹤0，那么f（x。）是函数的极大值。

②如果x。附近的

（

）﹤0函数的极小值

③如果

（

）在x。左右两侧符号不变，那么f（x。）不是极值

3、函数的最值

设函数f（x）在[a,b]上连续，在（a，b）上可导，求f（x）在[a,b]上最值得步骤是：

（1）求函数f（x）的极值

（2）将函数f（x）的极值与函数端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值。

例4 函数f（x）=+lnx-1

，右侧 （ ）﹥

，，那么f（x。）是

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程

（2）求f（x）在区间[0,e]上的最小值. 作业布置:练习册29页