1.2.1 充要条件教案和学案内容

充要条件”教学设计

一、教材分析

(1)教材内容及地位与作用：充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，是学生解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础’是等价的，所以，如果A不成立，那么B就一定不成立，也就是说，要使B成立，A就必须成立。”与旧教材大段枯燥难懂的表述相比，新教材的定义显得更简洁精炼，“一般地，如果已知p => q，那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。”与定义表述的繁简成鲜明对照的是，新教材的例题、练习题、习题数均大幅增加，是旧教材的两倍。显然，新教材的编写者在数学概念的处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观，因此淡化了对定义的纯文字叙述，而更注重学生从感性上去领悟，让学生在解题实践中加深理解。当然，一次性给出定义也存在一定的不足，学生在判断条件与结论的逻辑关系之前，还必须先分清何者是条件，何者是结论，这增加了学生理解上的困难。因此把重点，难点定位为

教学重点：正确理解并阐明三个概念

教学难点：对“必要条件”的理解教学目

从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难。因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”，这是比较切合教学实际的。由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一次到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。因此把教学目标定位为

（1）正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念

（2）掌握判断条件的充分性、必要性和充要性的方法在师生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础（）

1.1 什么叫命题？命题的一般形式是什么？

答：可以判断真假的语句叫做命题。命题一般有条件和结论，分别用p和q表示，这样命题的一般形式是：若p则q。

1.2 数学上有四种命题，它们有什么关系？

答：四种命题的相互关系如下图：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：

原命题为真，它的逆命题以及否命题都不一定为真，但它的逆否命题一定为真。

例1、探讨下列生活中名言名句，把它们改写成数学命题形式。并讨论命题的真假。

①水滴石穿

②骄兵必败

③有志者事竟成

④名师出高徒

答：①若石块经水长期淋滴则石块会被滴穿孔；

②若士兵骄傲、自满、轻敌则在战斗中一定会失败；

③若一个人有志气，不怕困难则做什么事都会成功；

④若有著名的师傅培养则一定会培养出高水平的徒弟。

这些生活语言不可能像数学命题一样准确，因此同学们对这些命题的真假可以有不同的观点，只要你的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是要同学们能“学会数学地思维” 。但数学命题是对数学的判断，它的真假就应有个严格的定论。下面我们看命题的真假在数学上是怎样表示的。

2、真假命题的符号记法：

在数学上对命题真假的有如下符号记法：

(1)如果命题“若p则q”为真，也就是说如果p成立，那么经过一系列的推理一定能推出q成立，则记作p => q，念作p推出q。

(2)如果命题“若p则q”为假，也就是说如果p成立，但无论经过怎样的推理都不能推出q成立，则记作p ≠> q，念作p推不出q。

(3)如果命题“若p则q”为真，同时又“若q则p”也为真，也就是说如果p成立，那么经过一系列的推理一定能推出q成立；同时地如果q成立，那么经过一系列的推理一定能推出p成立，则记作p <=> q，念作p 、q互推，或p等价于q。

例2、判断下列命题的真假，并研究其逆命题的真假。

①若，则。

②若三角形的三边相等则三角形的三个角相等。

③若是2 的倍数，则是6 的倍数。

④若，则。

注意：要分别指出各个题目的条件p和结论q各是什么。

答：①

p => q，q ≠> p。

②

p => q，q => p。

③

p ≠> q，q => p。

④

p ≠> q，q ≠> p。

一个命题为真，就是命题的条件能推出命题的结论，这说明命题的条件和结论之间有着一定的关系。那么这种既定的关系在数学上又如何称呼呢？有如下的定义：

3、充分、必要、充要条件的定义

3.1定义：

(1)如果已知p => q，则说p是q的充分条件；同时说q是p的必要条件。

可以这样理解：只要有条件p就能足够充分地推出结论p；或者说为使结论q成立，具备条件p就足够了，所以说条件p是q的充分条件。