习题2.4PPT配套优秀教学设计内容

抛物线--习题

一、

教学目标：

1、熟练掌握抛物线定义及其标准方程

2、能根据已知条件求抛物线的标准方程，并会由弦中点坐标求相应抛物线标准方程。

3、利用已知会求抛物线中点弦所在直线方程。

4、培养学生主动探索精神，提高学生分析、对比、概括等方面能力，渗透数形结合，函数方程分类讨论等数学思想。

二、

教学重点：

1、

利用已知会求抛物线中点弦所在直线方程。

2、

熟练掌握点差法、设而不求法等解题法则。

三、

教学方法

诱思探究法

通过回忆椭圆及双曲线的中点弦问题引入抛物线并引导学生主动分析探索其标准方程及中点弦问题等相关知识。

四、

教学设计

（一）背景分析 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高考的一个热点问题，这类问题一般有以下2种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）弦长为定值时，弦中点的坐标问题，其解法有点差法、设而不求法、参数法、待定系数法（即中心对称变换法）等。

（二）

公式回顾

已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程：

x2y2（1）AB是椭圆221(a>b>0)的一条弦，中点M(x0,y0)，则AB的斜率为—abb2x0。运用点差法求AB的斜率：设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2）。A，B都在椭圆a2y0x1y1x2y22222112222x1x2y1y2abab0，上，所以，两式联立，两式相减得a2b22222b2x0b2x0y1y2b2(x1x2)22即，故kAB-2。x1x2a(y1y2)ay0ay0x2y2（2）运用类似的方法可以推出：若AB是双曲线221(a,b>0)的弦，中ab点M(x0,y0)，则kABb2x0p2；若曲线是抛物线y22px(p0)，则kAB。y0ay0

（三）、典例分析

1、 已知抛物线y22x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB

的中点轨迹方程。解：如图，设弦AB的中点为M，并设A、B、M点坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，2(x,y)，根据题意设有y12x1，

①y22x2，2②③④⑤x1x22x，y1y22y，y1y2y1，x1x2x2

④代入①－②得，2y(y1y2)2(x1x2)，yy21∵x1x2，∴1，x1x2y⑥127)x。24

2⑥代入⑤得，yyx2，即(y

分析：

本题还有其他解答方法，如设AB的方程，利用根与系数的

关系，求出弦中点的轨迹方程。

2、

由点(2,0)向抛物线y24x引弦，求弦的中点的轨迹方程。解法1：利用点差法。设端点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y14x1，y24x2，两式相减得y22y124(x2x1)，①式两边同时除以x2x1，得(y2y1)①22y2y14，x2x1②③④设弦的中点坐标为(x,y)，则x1x22x，y1y22y，又点(x,y)和点(2,0)在直线AB上，所以有将③、④代入②得2yy4，x2yy1y2。x2x2x1整理得y22(x2)。故得中点的轨迹方程是y22(x2)在抛物线y24x内部的部分。解法2：设弦AB所在直线的方程为yk(x2)，yk(x2)由方程组2y4x(1)(2)

消去x并整理得ky24y8k0，（3）设A(x1,y1)、B(x2,y2)、中点(x,y)，对于方程（3），由根与系数的关系，有y1y2∴y4，ky1y22代入（1）得y22(x2)2k故得所求弦中点的轨迹方程是y22(x2)在抛物线y24x内部的部分。

分析：求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式，本题所给出的两种方法，都是找动点与已知条件的

内在联系，列关于，的关系式，进而求出轨迹的方程。

3、 求直线yx1被抛物线截得线段的中点坐标。解：解法一：设直线yx1与抛物线y24x交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中点P(x0,y0)，yx1由题意得2，y4x22消去y得(x1)4x，即x6x10，所以x0x1x23，y0x012，即中点坐标为(3,2)。2

解法二：设直线yx1与抛物线y24x交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中点P(x0,y0)，y124x1由题意得2，两式相减得y22y124(x2x1)，y24x2所以(y2y1)(y2y1)4，x2x1所以y1y24，即y02，x0y013，即中点坐标为(3,2)。总结：

题目主要以解答题的形式出现，这类问题的综合性强，注重与一元二次方程的判别式、韦达定理、不等式相结合，重在考查学生的基本数学素质和数学能力，具有较高的区分度，关注与向量综合的探索性题目，分值基本保持在12~14分。

作业：

直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则|AB|．