习题2.1教案3

求曲线的方程教学设计

课标要求：

1.掌握求轨迹方程的基本步骤. 2.掌握求轨迹方程的几种常用方法. 教学重点：

根据曲线的几何性质，利用坐标法求曲线方程. 教学难点：

利用不同的方法求曲线方程及对坐标法的理解和应用. 问题引入：

设直角三角形OAB的斜边AB的长为4，若点A,B分别在过O点且两互相垂直的直线

l1,l2

上运动，求AB的中点M的轨迹方程. 设计意图：从简单问题出发，让全体学生参加进来。

师生活动：让学生独立思考，交流，讨论，让学生经历自主完成，自我修正的过程，对直译法产生感性认识。

解：以O为原点，Ol1为x轴，Ol2为y轴，

y

建立如图所示的直角坐标系，设M(x,y), B

1由OMAB4可知：

2.M点M的轨迹方程为x2y24

问题1：这是点M的轨迹方程吗？

师生活动：引导学生根据曲线与方程的概念，即曲线上的点的坐标都是方程的解，以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，对所求结论进行验证，即其轨迹方程为x2y24xy0

设计意图：让学生体会“检验”（完备性和纯粹性）是探求轨迹方程不可缺少的步骤之一. 问题2：同学们还有其他求解方法吗？

学生独立思考，交流，讨论，教师巡视指导，获得解后总结求解程序. 设A(m,0),B(0,n),M(x,y),由|AB|=4得：m2n216①, mxm2x2由中点坐标公式知

nn2yy2O

A

x

代入①整理检验得x2y24xy0

方法小结：

方法1.直译法

建系,设点

寻找几何条件

将几何条件坐标化

化简,检验

方法2.参数法

建系,设点

引入参数

探寻动点坐标与参数的关系式

消参

化简，检验

问题3：同学们还能探求哪些动点轨迹方程？

师生活动：学生讨论交流后，自主探求相应点的轨迹方程. 可以探求Rt△ABC的重心G，线段AB的三等分点N（靠近点A）等的轨迹方程。

设计意图：培养学生主动提出问题的能力，强化方法的选择和运用，增强问题意识. 变式1：

设直角三角形OAB的斜边AB的长为4，若点A,B分别在过O点且两互相垂直的直线

l1,l2上运动,求AB的三等分点N(靠近点A)的轨迹方程.

解：设A(m,0),B(0,n),M(x,y),由|AB|=4得：m2n216①

又因为M是AB的三等分点，由AB3AM, 2m3xxm64322xy0

x4y得代入①整理检验得：29ynn3y3

变式2：

已知M点坐标为(3,0)点N在圆

轨迹方程. 22解：设P(x,y),N(x0,y0)，由点N在圆上，所以满足

x0y04①,又P是MN的中x2y24上运动，求MN的中点P的3x0xx02x32点,由中点坐标公式知：,代入①化简检验得：y02yyy0232xy1

2问题4：同学能归纳这种方法的操作过程吗？

设计意图：强化抽象概括的意识，增强方法的选择和思路调整意识.

2

方法小结

方法三：代入法（相关点法）

建系,设点

探寻未知动点与已知动点坐标的关系

代入

化简，检验

应用

在△ABC中,AB的长为4,点C始终满足|CA|=2|CB|,求三角形ABC面积的最大值.

设计意图：改题是教材改编题目，点C的轨迹方程是圆，改圆称为阿波罗尼斯圆，在高考中备受青睐，如果清楚阿波罗尼斯圆的概念，这个题就很容易转化为圆的半径即是△ABC的边AB上的高的最大值.

解析：以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建系，则A(-2，0),B(2,0),8168设C(x,y),则C点满足的方程为xy2所以C点满足的轨迹是以，0

393为圆心, 44为半径的圆，当C点到AB的距离为半径时，三角形面积最大，为. 332反思：

请同学们自我总结下，本节课有何收获？

师生活动：让学生自我反思，小结，再交流，补充，教师帮助概括，总结. 设计意图：增强主动反思的意识，培养思维的概括性.