3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标设计

十、平面向量基本定理教学设计

一、教学指导思想与理论依据

发挥数学课程的育人功能，促进学生素质的整体提高．建构主义学习理论认为“学习是一种积极主动的建构过程，学习者并不是把知识从外界搬到记忆中，而是以已有的经验为基础，通过与外界的相互作用来建构新的理解”．如果学生能够通过自主学习或者合作学习获得的知识，教师决不包办代替、以自己教的过程代替学生学的过程；对于学生深入学习有困难的内容，教师可以创设情境，搭建平台，让学生试着学或者通过小组讨论，用集体的智慧攻克难关；对于更难的内容，教师可以与学生共同完成，尽管如此，也要建立在学生先前经验的基础上，以减少学习的难度。因此，本节课为了实现教学目标，突出重点、突破难点，采用创设问题情境、教师引领、学生自主探究的教学方法，并借助多媒体教学平台，让学生通过“实验——猜想——归纳——证明”发现平面向量基本定理．

二、教学背景分析

1．教学内容分析：向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，具有很高的教育价值．本节课是普通高中课程标准实验教科书必修4、§2.3.1平面向量基本定理、第一课时．平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和结构，是进一步研究向量问题、引入坐标概念的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段．

2．学生情况分析：学生在学习本节课之前，已经学***面向量加法、减法、数乘运算及其几何意义，掌握了平面向量共线定理，会初步运用平面向量的线性运算及共线定理解决向量问题和几何问题，所以学生已具备了研究平面向量基本定理的基础．

3．教学方式与教学手段的说明：

本节课建立在在学生原有的知识体系上，以启发式教学为主，引导学生自主探究，通过对一系列问题的分析、探索，使学生能充分的动手、动口、动脑，参与教学全过程．

在教学手段上我选择了多媒体教学平台，利用几何画板，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于培养学生的分析归纳能力，加深他们对问题的理解和认识．

三、教学目标及重、难点分析

1.知识与技能：了解平面向量基本定理及其意义，会将任一向量用同一平面内的一组基底线性表示，为向量坐标化打下基础．

2.过程与方法：通过对平面向量基本定理的学习，让学生体验数学定理的产生、形成过程，体验由“现象到本质”、由“具体到抽象再到具体”的认知规律，体会研究数学问题的思想方法．

3.情感.态度与价值观：通过本节学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会数形结合思想。

重点：平面向量基本定理的理解与应用．难点：平面向量基本定理的形成过程．

四、教学过程设计

（一）复习旧知、引入课题

师：前两次课我们已经学习了向量的数乘运算及平面向量共线定理，请同学们回答：

1.怎样理解向量的数乘运算λa ？ 生：（1）|λa|=|λ||a|；

（2）λ>0时，λa与a方向相同；

λ<0时，λa与a方向相反；

λ=0时，λa=0. 2.平面向量共线定理是什么？ 生：非零向量a与向量b共线

存在唯一实数λ，使b＝λa.[来源:学科网ZXXK][来源:学|科|网Z|X|X|K]

师：平面向量共线定理的意义是什么？

生：（1）右（2）左左：判定两个向量共线的条件；

右：与非零向量a共线的向量b都能用“基础向量” a线性表示.[来源:Zxxk.Com]

师：若向量b与非零向量a不共线，b还能用a线性表示吗？（不能）那么对于平面内任意一个向量，到底需要几个“基础向量”就可以表示它呢？表示的形式怎样呢？

请大家结合以下一系列问题展开研究，看看会得到怎样的结果？

（二）师生互动、探索新知

探究一：平面向量基本定理 问题1 给定向量量生：作图

师：这个作图过程可以看成力的合成，力也有分解，若将两个方向上的分解向量就是、，即. ？ 、，如何求作向记作a，则a在、这

问题2（1）如图1，

、是同一平面内的两个不共线向量，能否作出向量a 在、这两个方向上的分解向量？

（2）请在图2中任意画出一个向量a，并将向量a 在 、这两个方向上进行分解.

问题3 （1）在图1中，能否用生：简述作图过程，（2）在图2中，能否用、、表示a？

【教师补充、强调】

表示a？

生：请几个同学分别发言，以此表示向量a的任意性

（3）对于平面内的任意一个向量a，是否都能表示成：为实数？

师：演示几何画板文件，拖动a，以此体现a向量的任意性；引导学生观察，从而发现其中蕴含的定理. 问题4 根据上述分析，平面内的任意向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？

生：若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只、，使. 、，其中、有一对实数问题5 上述定理称为平面向量基本定理，请你指出定理中的关键词：

生：两个不共线向量、任意、有且只有一对

问题6 不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可、是否相同？

以作基底的向量有多少组？若基底选取不同，表示同一向量a的实数

师：演示几何画板文件，拖动、，引导学生观察，发现基底的不唯一性. 问题7 若向量a与生：、或共线，a还能用

表示吗？

师：演示几何画板文件，给学生直观感受. ☆☆

师生共同指出定理中需要注意的几点：

1、定理中、是两个不共线向量。

、是唯一的。

2、在基底给定的情况下，对于平面内的任意向量a ，实数对3、平面内任意两个不共线向量都可作为一组基底。

探究二:平面向量的位置关系 问题1 不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作，如图.为了反映这两个

向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？

生：思考、回答[0°，180°] 问题2 如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

师：下节课我们将选取互相垂直的两个向量作为基底，引入向量坐标的概念. （三）运用新知，解决问题

生：回答解题思路[来源:Z.xx.k.Com]

师：在学生回答的基础上加以补充强调

[来源:Zxxk.Com]

例2 如图，平面内的两条相交直线四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）。若且点P落在第Ⅲ部分，则实数a、b满足（ ）

A.a>0 ,b>0 B.a>0 ,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 生：回答解题思路

将该平面分割成，

师：在学生回答的基础上加以补充强调

【以下练习1、练习2依据教学进度，可作为课下思考题】

练习1 如图3，D是中BC边的中点，

， (2)如图4，如果点F在线段AD上，AF=2FD，适用 练习2 如图， （四）回顾反思、归纳小结

1．平面向量基本定理内容

2．对平面向量基本定理的理解

（1）实数对、的存在性和唯一性

，不共线，=λ (λÎR),用,表示．

（2）基底的不唯一性

（3）定理的意义：平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点. 3．平面向量基本定理的应用

求作向量、解（证）向量问题、解（证）平面几何问题

4.向量夹角的概念和范围

（五）课后练习、延伸拓展

1. 已知：不共线向量e1，e2，求作向量a＝e1－2e2．

2. 已知：不共线向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求实数λ1，λ2．

3. 已知：基底｛a，b｝，求实数ｘ，ｙ满足向量等式：3a＋（10－y）b＝（4y＋7）a＋2xb．

4．

如图1，在（2）如图2，如果E、F分别是BC、DC的中点，

5. 在△ABC中，＝ａ， ＝ｂ，点G是△ABC的重心，试用ａ，ｂ表示．

6.平行四边形ABCD中，E、F分别是DC和AB 的中点，试判断AE,CF是否平行？（用向量方法）

（六）教学流程图

五、学习效果评价设计

新的课程标准明确规定：“教师应帮助学生在自主探究和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动的经验”。本节课通过创设问题情境，把复杂问题逐一分解，借助现代教育技术，引导学生逐渐得出结论。学生通过探究，真正成为学习的主人，加深了对数学知识的理解，在亲自动手、动脑的实践过程中，获得了宝贵的数学技能、数学经验和数学方法，切实享受到数学学习的乐趣，掌握了从具体到抽象，从特殊到一般的认识事物的规律，感受了成功的喜悦。使学生亲历了数学建构过程，较好的掌握了认识事物、发现真理的思维方法，培养了学生的创造能力。

1.

学生的发言教师给予及时评价；

2.

在作业中巩固提高，延伸拓展；

3.

在下一节课前进行分层检测，查漏补缺；

4.

教师从问题的设置和学生的参与度方面进行自评；

5.

学生从对本节课的兴趣、发言的次数、与他人的合作交流及对知识的掌握情况等方面进行自评．

六、教学设计特点

本节课的设计充分体现了新课改的思想，注重教学过程中学生的自主学习，合作探究，教学方法灵活多样，可操作性强。教师在认真钻研教材内容、充分考察学生客观情况的基础上，结合新课标的教学理念，课堂教学中采用“启发探究式”教学方法，遵循从具体到抽象、由特殊到一般的学习原则，创设一系列探究问题，并结合多媒体教学手段，努力为学生营造一种充满“实验、观察、发现、归纳、猜想”的学习环境，使他们能够充分实现自主探究、合作交流，轻松愉悦地获取知识．

总体来说，本节课教学设计的宗旨是“围绕学生的发展进行，使问题贯穿始终，探究贯穿始终，发展贯穿始终”．学生在教师的启发下发现当前所面临的问题，成为探究活动的主线，沿着这条主线学生逐层深入挖掘，最终得出平面向量基本定理．从而使他们在探究过程中形成能力，在过程中掌握方法，在过程中发展基本数学技能，在过程中培养健康向上的情感、态度和价值观．

附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）

学校名录参见：http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060