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关键词：习题3.2优质课一等奖

正文

利用空间向量求空间角

一、高考考纲要求：

能用向量方法解决异面直线所成角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．

二、命题趋势：

在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标

知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；

过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；

情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点

重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角；

难点：将立体几何问题转化为向量问题.

五、教学过程

（一）空间角公式

1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l，m的方向向量分别为a,b,异面直线l，m所成的角为，则coscosa,b

abab. lbmaaanan. 

2、线面角公式：设直线l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成的角，则sincosa,n

3、面面角公式：设n1，n2分别为平面、的法向量，二面角为.

n1,n2

n1,n2n1n2n1n2

cosn1,n2

（二）典例分析

例题:已知：在长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，点E是CC1的中点

。

求：（1）异面直线ED与CA1所成角的余弦值；

（2）ED与平面A1B1C所成角的正弦值；

（3）当F为C1D1的三等分点（靠近C1）求二面角B1-A1C-C1的余弦值。

F E A B

2 D C

（三）巩固练习

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，PD⊥面ABCD， PD=AD，E在PC上，PE=2EC。

（1）求直线PC与DB所成角的大小；

（2）求直PC与平面DBE所成角的大小；

（3）求二面角C-DE-B的余弦值。

（四）课堂小结

1．用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量．

2．合理建立空间直角坐标系

(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．

(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．

[易错防范] 1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．

2．求二面角要根据图形确定或由法向量的指向所求角是锐角还是钝角．

（五）课后作业

课本111页习题3.2A组1，4，6，8

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习题3.2优质课一等奖

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