3.4 生活中的优化问题举例教学设计方案

课题：含参数的函数的零点问题

连江黄如论中学 游元晖

【教学目标】 进一步探究含参函数的零点分布、零点个数与参数的值（范围）等问题的解决方法，体会函数零点、方程的解、函数图像交点之间的等价关系，会选择合理的转化途径解决函数的零点问题，感受数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想方法。

【教学重点】

进一步掌握合理方法（直接法、图解法、参数分离法）解决函数零点相关问题。

【教学难点】

合理根据函数结构特征和零点问题对参数进行正确的分类讨论。

【教学方法】引导发现法、问题探究法

【教学过程】

一、问题探究，发现规律

问题1.已知函数f(x)lnxx+a在区间(1,2)上存在一个零点，则实数a的取值范围是 。（人教版A版必修1第88页例1改编）

解：因为函数f(x)在区间(1,2)内单调递增且存在一个零点，故f(1)f(2)0，整理得（-ln2-2，）-1。

(1+a)(ln22+a)0，解得-ln2-2a-1．所以，实数a的取值范围是〖设计意图〗

1.用直接法求解函数零点与参数问题（直接计算或直接应用零点存在性定理) 2.进一步复习函数零点概念和零点存在性定理。

1（,e）上有零点，则实数a的取值范围变式：已知函数f(x)lnx-x+a在区间e是 。

〖设计意图〗1.当无法直接判断函数单调性，要通过求函数的导数来判断单调性，然后进一步研究函数的图像与性质。

2.三种解法（1）直接法（借助函数性质和导数研究函数与x轴交点）；

（2）图解法（化为两个基本函数交点）f(x)lnx-x+a0lnxxa；

（3）参数分离法：f(x)lnx-x+a0lnxxa

二、课堂练习，检测反馈

1

问题2.设函数fxe2xalnx.（I）讨论fx的导函数fx的零点的个数；（II）（略）

（2015全国1卷文21）

【解析】（Ⅰ）

fx的定义域为0，+，

fx=2e2x当a0时, fx0，

fx没有零点；

当a0时，因为e2x单调递增，

满足0ba单调递增，所以fx在0，+单调递增.又fa0,当bxa

xa1且b时，

fb0,故当a0时，

fx存在唯一零点. 44aa02e2x；

xx〖设计意图〗强化三种解法：（1）直接法（借助函数性质和导数研究函数与x轴交点）；

（3）图解法（化为两个基本函数交点）fx=2e2x（3）参数分离法：fx=2e2xa02xe2xa

x问题3.已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a =( ) （2017全国III卷文12）

A．1

2

1B．

3

C．1

2

D．1 解法一：令f(x)0,则x22xa(ex1ex1)，

设g(x)ex1ex1，则设g(x)ex1-ex1e2(x1)1，当g(x)0时，x=1, x1e当x<1时,g(x)0，,函数g(x)在(-∞,1)上单调递减,当x>1时,g(x)0，函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,当x=1时,函数g(x)取得最小值2, 设h(x)=x2-2x,当x=1时,函数h(x)取得最小值-1, 若-a<0,h(1)=-ag(1)时,此时函数h(x)和-ag(x)有一个交点,即-a×2=-1⇒a误！未找到引用源。. x1x1x1-x1g(x)ee2ee2，

解法二：令f(x)0,则x-2x=-a(e+e),2x-1-x+11错2当且仅当ex1e-x1，即x1时等号成立。以下同解法一。

解法三：因为f(x2)f(x)，所以f(x)图像关于x1对称，有唯一零点，所以f(1)0,则a1。

2〖设计意图〗如果通过变形，可以将函数f(x)转化为两个函数g(x),h(x)之差的形式，那么g(x),h(x)图象交点的横坐标就是函数f(x)的零点．因此对于含参数函数

2

f(x)g(x)h(x)，我们可以利用数形结合思想作出g(x),h(x)的图象，并根据两图象的交点情况求解参数范围．把原函数转化为两个函数时，要注意转化得到的两个函数的图象应该是比较容易画出的．在作图时，要利用函数奇偶性、单调性等性质，并标注出函数图象上的零点、最高点、最低点等一些特殊点，尽量把图象画准确，避免误判。

特别适用于选填题的函数的零点问题。

三、归纳小结，提高升华

问题4.通过本节学习，你能从知识、方法、思想方面谈谈有哪些收获吗？

1.一个思路：用数形结合解决零点问题。

2.两类题型：已知零点分布情况（个数或区间）求参数，已知参数范围求零点分布情况（个数或区间）。

3.三种方法：（1）利用参数分离法求解零点与参数范围问题。

lnxex（2）直接法，函数是基本函数或常见的组合函数（如yxe、y、yxlnx、yxxx等）时，直接对含参函数研究单调性、极值、最值，作出函数的大致图像，再观察函数f(x)图象与x轴的图像的交点，用数形结合求解零点与参数问题

。

（3）图解法，即f(x)g(x)h(x)g(x)h(x)，可化为两个基本函数交点问题，然后数形结合求解。

4.四个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点转化h(x)g(x)，即h(x)与g(x)图像有交点。

四．课后作业，提高巩固

2，x2；1. 已知函数f(x)x若关于x的方程f(x)k有两个不等的实根，则实数3 x2．(x1)，k的取值范围是 _______________. 2.（2014全国1卷文12）已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是( ) A.2, B.1, C.,2 D.,1

3.（2014全国2卷文21）已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2. （Ⅰ）求a；

（Ⅱ）证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点. 4.（2016全国1卷文21）已知函数f(x)(x2)exa(x1)2错误！未找到引用源。. （I）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

3

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